Para representar gráficamente la función [tex]\( f(x) = -x^2 - 14x - 24 \)[/tex] y analizar su comportamiento, vamos a desglosar el proceso paso a paso:
### Paso 1: Determinar el tipo de función
La función [tex]\( f(x) = -x^2 - 14x - 24 \)[/tex] es una función cuadrática de la forma [tex]\( ax^2 + bx + c \)[/tex]. En este caso:
- [tex]\(a = -1\)[/tex]
- [tex]\(b = -14\)[/tex]
- [tex]\(c = -24\)[/tex]
Dado que el coeficiente de [tex]\( x^2 \)[/tex] (a) es negativo, la parábola se abre hacia abajo.
### Paso 2: Calcular el vértice de la parábola
El vértice de una parábola dada por [tex]\( ax^2 + bx + c \)[/tex] se encuentra en [tex]\( x = -\frac{b}{2a} \)[/tex].
[tex]\[
x_v = -\frac{-14}{2 \cdot -1} = -\frac{14}{-2} = 7
\][/tex]
El valor de [tex]\( y \)[/tex] en el vértice se obtiene sustituyendo [tex]\( x \)[/tex] en la función:
[tex]\[
y_v = f(x_v) = f(7) = -(7)^2 - 14(7) - 24
\][/tex]
[tex]\[
y_v = -49 - 98 - 24 = -171
\][/tex]
Entonces, el vértice de la parábola es el punto [tex]\( (7, -171) \)[/tex].
### Paso 3: Determinar los puntos de corte con los ejes
1. Punto de corte con el eje y:
Para encontrar el punto donde la función corta el eje y, sustituimos [tex]\( x = 0 \)[/tex]:
[tex]\[
f(0) = -0^2 - 14(0) - 24 = -24
\][/tex]
Entonces, el punto de corte con el eje y es [tex]\( (0, -24) \)[/tex].
2. Puntos de corte con el eje x:
Para encontrar los puntos donde la función corta el eje x, resolvemos la ecuación [tex]\( f(x) = 0 \)[/tex]:
[tex]\[
-x^2 - 14x - 24 = 0
\][/tex]
Transformamos la ecuación a la forma estándar:
[tex]\[
x^2 + 14x + 24 = 0
\][/tex]
Aplicamos la fórmula cuadrática [tex]\( x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \)[/tex]:
[tex]\[
a = 1, \quad b = 14, \quad c = 24
\][/tex]
[tex]\[
x = \frac{-14 \pm \sqrt{14^2 - 4(1)(24)}}{2(1)} = \frac{-14 \pm \sqrt{196 - 96}}{2} = \frac{-14 \pm \sqrt{100}}{2} = \frac{-14 \pm 10}{2}
\][/tex]
Esto da dos soluciones:
[tex]\[
x_1 = \frac{-14 + 10}{2} = -2
\][/tex]
[tex]\[
x_2 = \frac{-14 - 10}{2} = -12
\][/tex]
Entonces, los puntos de corte con el eje x son [tex]\( (-2, 0) \)[/tex] y [tex]\( (-12, 0) \)[/tex].
### Paso 4: Dibujar la función
Podemos resumir los puntos clave de la gráfica:
- Vértice: [tex]\( (7, -171) \)[/tex]
- Corte con el eje y: [tex]\( (0, -24) \)[/tex]
- Cortes con el eje x: [tex]\( (-2, 0) \)[/tex] y [tex]\( (-12, 0) \)[/tex]
La parábola se abre hacia abajo y pasa por estos puntos mencionados. A continuación, la gráfica se debe realizar:
#### Gráfico
1. Dibujar los ejes coordenados.
2. Marcar el vértice [tex]\( (7, -171) \)[/tex].
3. Marcar los cortes con el eje x en [tex]\( (-2, 0) \)[/tex] y [tex]\( (-12, 0) \)[/tex].
4. Marcar el corte con el eje y en [tex]\( (0, -24) \)[/tex].
5. Dibujar la parábola que pasa a través de estos puntos, asegurando que se abre hacia abajo.
La gráfica de la función [tex]\( f(x) = -x^2 - 14x - 24 \)[/tex] se verá similar a una parábola invertida que alcanza su punto más bajo en [tex]\( (7, -171) \)[/tex] y cruza los ejes en las coordenadas mencionadas.
