Para resolver el sistema de ecuaciones usando el método de determinantes (método de Cramer), seguimos los siguientes pasos:
Las ecuaciones dadas son:
[tex]\[
\begin{array}{l}
x + 2y = 10 \quad \text{(1)} \\
2x - y = 5 \quad \text{(2)}
\end{array}
\][/tex]
Primero, escribimos las ecuaciones en la forma de una matriz de coeficientes y un vector de términos independientes:
[tex]\[
A = \begin{pmatrix}
1 & 2 \\
2 & -1
\end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix}
10 \\
5
\end{pmatrix}
\][/tex]
### Paso 1: Calcular el determinante de la matriz de coeficientes [tex]\(A\)[/tex]
El determinante de la matriz [tex]\(A\)[/tex] se calcula de la siguiente manera:
[tex]\[
\text{det}(A) = \begin{vmatrix}
1 & 2 \\
2 & -1
\end{vmatrix} = (1 \cdot -1) - (2 \cdot 2) = -1 - 4 = -5
\][/tex]
### Paso 2: Verificar si el sistema tiene una solución única
Como el determinante de la matriz [tex]\(A\)[/tex] no es cero ([tex]\(\text{det}(A) = -5\)[/tex]), el sistema tiene una solución única.
### Paso 3: Calcular las matrices adjuntas para hallar las soluciones [tex]\(x\)[/tex] y [tex]\(y\)[/tex]
Para encontrar [tex]\(x\)[/tex] y [tex]\(y\)[/tex], usaremos las siguientes fórmulas de Cramer:
[tex]\[
x = \frac{\text{det}(A_x)}{\text{det}(A)}, \quad y = \frac{\text{det}(A_y)}{\text{det}(A)}
\][/tex]
Donde [tex]\(A_x\)[/tex] y [tex]\(A_y\)[/tex] son las matrices que se obtienen al reemplazar la primera y segunda columna de [tex]\(A\)[/tex] por el vector [tex]\(B\)[/tex], respectivamente.
### Paso 4: Calcular los determinantes de [tex]\(A_x\)[/tex] y [tex]\(A_y\)[/tex]
[tex]\[
A_x = \begin{pmatrix}
10 & 2 \\
5 & -1
\end{pmatrix}
\][/tex]
[tex]\[
\text{det}(A_x) = \begin{vmatrix}
10 & 2 \\
5 & -1
\end{vmatrix} = (10 \cdot -1) - (2 \cdot 5) = -10 - 10 = -20
\][/tex]
[tex]\[
A_y = \begin{pmatrix}
1 & 10 \\
2 & 5
\end{pmatrix}
\][/tex]
[tex]\[
\text{det}(A_y) = \begin{vmatrix}
1 & 10 \\
2 & 5
\end{vmatrix} = (1 \cdot 5) - (10 \cdot 2) = 5 - 20 = -15
\][/tex]
### Paso 5: Calcular las soluciones
Finalmente, dividimos cada determinante por [tex]\(\text{det}(A)\)[/tex]:
[tex]\[
x = \frac{\text{det}(A_x)}{\text{det}(A)} = \frac{-20}{-5} = 4
\][/tex]
[tex]\[
y = \frac{\text{det}(A_y)}{\text{det}(A)} = \frac{-15}{-5} = 3
\][/tex]
### Resumen de la solución
Las soluciones al sistema de ecuaciones son:
[tex]\[
x = 4, \quad y = 3
\][/tex]
