Primero, debemos encontrar la relación entre la longitud de la varilla metálica y la temperatura, asumiendo que el comportamiento es lineal.
La longitud de la varilla a [tex]\(25^{\circ} \text{C}\)[/tex] es [tex]\(108.75 \, \text{cm}\)[/tex] y la longitud a [tex]\(36^{\circ} \text{C}\)[/tex] es [tex]\(109.08 \, \text{cm}\)[/tex].
### Paso 1: Calcular los cambios en longitud y temperatura
1. Cambio en longitud ([tex]\(\Delta L\)[/tex]):
[tex]\[ \Delta L = L_{\text{final}} - L_{\text{inicial}} = 109.08 \, \text{cm} - 108.75 \, \text{cm} = 0.33 \, \text{cm} \][/tex]
2. Cambio en temperatura ([tex]\(\Delta T\)[/tex]):
[tex]\[ \Delta T = T_{\text{final}} - T_{\text{inicial}} = 36^{\circ} \text{C} - 25^{\circ} \text{C} = 11^{\circ} \text{C} \][/tex]
### Paso 2: Calcular el coeficiente de dilatación lineal (pendiente de la función lineal)
El coeficiente de dilatación, que es la pendiente de la función lineal, se calcula como:
[tex]\[ \text{pendiente} = \frac{\Delta L}{\Delta T} = \frac{0.33 \, \text{cm}}{11^{\circ} \text{C}} \approx 0.03 \, \text{cm}/^{\circ}C \][/tex]
### Paso 3: Determinar la ecuación de la función lineal
La función lineal puede escribirse en la forma:
[tex]\[ L(T) = \text{pendiente} \times T + \text{intercepto} \][/tex]
Ya conocemos la pendiente ([tex]\(0.03 \, \text{cm}/^{\circ}C\)[/tex]). Para encontrar el intercepto, usamos el punto conocido [tex]\((25^{\circ} \text{C}, 108.75 \, \text{cm})\)[/tex]:
### Paso 4: Calcular el intercepto
Usamos la ecuación:
[tex]\[ 108.75 = 0.03 \times 25 + \text{intercepto} \][/tex]
[tex]\[ 108.75 = 0.75 + \text{intercepto} \][/tex]
[tex]\[ \text{intercepto} = 108.75 - 0.75 \][/tex]
[tex]\[ \text{intercepto} = 108 \][/tex]
### Paso 5: Verificar qué función representa el comportamiento
La función obtenida es:
[tex]\[ L(T) = 0.03 T + 108 \][/tex]
### Paso 6: Comparar con las opciones dadas
1. A) [tex]\( f(x)=0.03 x + 83.75 \)[/tex] - Esto no es correcto.
2. B) [tex]\( S(x)=0.03 x + 108 \)[/tex] - Esto coincide con nuestra ecuación.
3. D) [tex]\( s(x)=393 x + 108 \)[/tex] - Esto no es correcto.
4. E) Ninguna de las funciones anteriores - Esto no es correcto, porque la opción B es correcta.
### Respuesta Final:
La función que representa la longitud de la varilla a [tex]\(x^{\circ} \text{C}\)[/tex] es:
[tex]\[ \boxed{\text{B) } S(x)=0.03 x + 108} \][/tex]
