Para hallar el Mínimo Común Múltiplo (MCM) de los números 105, 225 y 490, utilizaremos el método de la descomposición simultánea en factores primos. Vamos a descomponer cada número en factores primos y luego tomaremos los factores primos comunes y no comunes, elevados al mayor exponente con el que aparecen.
Primero descomponemos cada número en factores primos:
1. Descomposición de 105:
- 105 es divisible por 3: [tex]\(105 \div 3 = 35\)[/tex]
- 35 es divisible por 5: [tex]\(35 \div 5 = 7\)[/tex]
- 7 es un número primo.
Entonces, la descomposición en factores primos de 105 es: [tex]\(105 = 3 \times 5 \times 7\)[/tex]
2. Descomposición de 225:
- 225 es divisible por 3: [tex]\(225 \div 3 = 75\)[/tex]
- 75 es divisible por 3: [tex]\(75 \div 3 = 25\)[/tex]
- 25 es divisible por 5: [tex]\(25 \div 5 = 5\)[/tex]
- 5 es un número primo.
Entonces, la descomposición en factores primos de 225 es: [tex]\(225 = 3^2 \times 5^2\)[/tex]
3. Descomposición de 490:
- 490 es divisible por 2: [tex]\(490 \div 2 = 245\)[/tex]
- 245 es divisible por 5: [tex]\(245 \div 5 = 49\)[/tex]
- 49 es divisible por 7: [tex]\(49 \div 7 = 7\)[/tex]
- 7 es un número primo.
Entonces, la descomposición en factores primos de 490 es: [tex]\(490 = 2 \times 5 \times 7^2\)[/tex]
Ahora, para encontrar el MCM, tomamos todos los factores primos que aparecen en alguna de las descomposiciones, elevados al mayor exponente con el que aparecen:
- El factor primo 2 aparece en la descomposición de 490 y su mayor exponente es [tex]\(2^1\)[/tex].
- El factor primo 3 aparece en la descomposición de 105 y 225, y su mayor exponente es [tex]\(3^2\)[/tex].
- El factor primo 5 aparece en las tres descomposiciones, y su mayor exponente es [tex]\(5^2\)[/tex].
- El factor primo 7 aparece en las descomposiciones de 105 y 490, y su mayor exponente es [tex]\(7^2\)[/tex].
Por lo tanto, el MCM es el producto de estos factores elevados a los mayores exponentes encontrados:
[tex]\[
MCM(105, 225, 490) = 2^1 \times 3^2 \times 5^2 \times 7^2
\][/tex]
Realizando las operaciones de multiplicación:
[tex]\[
2^1 = 2 \\
3^2 = 9 \\
5^2 = 25 \\
7^2 = 49
\][/tex]
Multiplicamos estos valores:
[tex]\[
2 \times 9 \times 25 \times 49 = 2 \times 9 = 18 \\
18 \times 25 = 450 \\
450 \times 49 = 22050
\][/tex]
Entonces, el MCM de 105, 225 y 490 es:
[tex]\[
\boxed{22050}
\][/tex]
