Answer :
Para resolver esta pregunta, vamos a analizar las opciones disponibles y compararlas con los datos proporcionados en la tabla.
La tabla muestra el número de formas posibles de ocupar los tres primeros puestos según el número de países participantes. Los datos dados son los siguientes:
- Para [tex]\( n = 3 \)[/tex], [tex]\( O = 6 \)[/tex].
- Para [tex]\( n = 4 \)[/tex], [tex]\( O = 24 \)[/tex].
- Para [tex]\( n = 5 \)[/tex], [tex]\( O = 60 \)[/tex].
- Para [tex]\( n = 6 \)[/tex], [tex]\( O = 120 \)[/tex].
Vamos a examinar cada una de las opciones disponibles para la fórmula [tex]\( f \)[/tex]:
### Opción A: [tex]\( f = \frac{n!}{(n-3)! \cdot 3!} \)[/tex]
Si aplicamos esta fórmula a los valores dados (comprobando sólo un par de ejemplos, dado el patrón consistente):
- Para [tex]\( n = 3 \)[/tex]:
[tex]\[ f = \frac{3!}{(3-3)! \cdot 3!} = \frac{6}{1 \cdot 6} = 1 \][/tex]
Este resultado no coincide con [tex]\( O = 6 \)[/tex].
- Para [tex]\( n = 4 \)[/tex]:
[tex]\[ f = \frac{4!}{(4-3)! \cdot 3!} = \frac{24}{1 \cdot 6} = 4 \][/tex]
Este resultado no coincide con [tex]\( O = 24 \)[/tex].
Dado que los valores no coinciden, podemos descartar la opción A.
### Opción B: [tex]\( f = 3(3^{n-2} - 1) \)[/tex]
Veamos si esta fórmula coincide con uno de los valores:
- Para [tex]\( n = 3 \)[/tex]:
[tex]\[ f = 3(3^{3-2} - 1) = 3(3^1 - 1) = 3(3 - 1) = 3 \cdot 2 = 6 \][/tex]
El resultado coincide con [tex]\( O = 6 \)[/tex].
- Para [tex]\( n = 4 \)[/tex]:
[tex]\[ f = 3(3^{4-2} - 1) = 3(3^2 - 1) = 3(9 - 1) = 3 \cdot 8 = 24 \][/tex]
El resultado coincide con [tex]\( O = 24 \)[/tex].
- Para [tex]\( n = 5 \)[/tex]:
[tex]\[ f = 3(3^{5-2} - 1) = 3(3^3 - 1) = 3(27 - 1) = 3 \cdot 26 = 78 \][/tex]
El resultado no coincide con [tex]\( O = 60 \)[/tex].
Entonces la opción B no es consistente con todos los datos.
### Opción C: [tex]\( f = \frac{n!}{(n-3)!} \)[/tex]
Verifiquemos esta fórmula:
- Para [tex]\( n = 3 \)[/tex]:
[tex]\[ f = \frac{3!}{(3-3)!} = \frac{6}{1} = 6 \][/tex]
El resultado coincide con [tex]\( O = 6 \)[/tex].
- Para [tex]\( n = 4 \)[/tex]:
[tex]\[ f = \frac{4!}{(4-3)!} = \frac{24}{1} = 24 \][/tex]
El resultado coincide con [tex]\( O = 24 \)[/tex].
- Para [tex]\( n = 5 \)[/tex]:
[tex]\[ f = \frac{5!}{(5-3)!} = \frac{120}{2} = 60 \][/tex]
El resultado coincide con [tex]\( O = 60 \)[/tex].
- Para [tex]\( n = 6 \)[/tex]:
[tex]\[ f = \frac{6!}{(6-3)!} = \frac{720}{6} = 120 \][/tex]
El resultado coincide con [tex]\( O = 120 \)[/tex].
La opción C es consistente con todos los datos dados.
### Opción D: [tex]\( f = n(n-1)(n-2)^2 \)[/tex]
Verifiquemos esta fórmula:
- Para [tex]\( n = 3 \)[/tex]:
[tex]\[ f = 3(3-1)(3-2)^2 = 3 \cdot 2 \cdot 1^2 = 6 \][/tex]
El resultado coincide con [tex]\( O = 6 \)[/tex].
- Para [tex]\( n = 4 \)[/tex]:
[tex]\[ f = 4(4-1)(4-2)^2 = 4 \cdot 3 \cdot 2^2 = 4 \cdot 3 \cdot 4 = 48 \][/tex]
Este resultado no coincide con [tex]\( O = 24 \)[/tex].
- Para [tex]\( n = 5 \)[/tex]:
[tex]\[ f = 5(5-1)(5-2)^2 = 5 \cdot 4 \cdot 3^2 = 5 \cdot 4 \cdot 9 = 180 \][/tex]
Este resultado no coincide con [tex]\( O = 60 \)[/tex].
Dado que los resultados no coinciden completamente, descartamos la opción D.
### Conclusión
La fórmula que mejor generaliza la relación entre el número de países participantes y el número de formas posibles de ocupar los tres primeros puestos, de acuerdo con los datos proporcionados, es:
[tex]\[ f = \frac{n!}{(n-3)!} \][/tex]
Por lo tanto, la opción correcta es la C.
La tabla muestra el número de formas posibles de ocupar los tres primeros puestos según el número de países participantes. Los datos dados son los siguientes:
- Para [tex]\( n = 3 \)[/tex], [tex]\( O = 6 \)[/tex].
- Para [tex]\( n = 4 \)[/tex], [tex]\( O = 24 \)[/tex].
- Para [tex]\( n = 5 \)[/tex], [tex]\( O = 60 \)[/tex].
- Para [tex]\( n = 6 \)[/tex], [tex]\( O = 120 \)[/tex].
Vamos a examinar cada una de las opciones disponibles para la fórmula [tex]\( f \)[/tex]:
### Opción A: [tex]\( f = \frac{n!}{(n-3)! \cdot 3!} \)[/tex]
Si aplicamos esta fórmula a los valores dados (comprobando sólo un par de ejemplos, dado el patrón consistente):
- Para [tex]\( n = 3 \)[/tex]:
[tex]\[ f = \frac{3!}{(3-3)! \cdot 3!} = \frac{6}{1 \cdot 6} = 1 \][/tex]
Este resultado no coincide con [tex]\( O = 6 \)[/tex].
- Para [tex]\( n = 4 \)[/tex]:
[tex]\[ f = \frac{4!}{(4-3)! \cdot 3!} = \frac{24}{1 \cdot 6} = 4 \][/tex]
Este resultado no coincide con [tex]\( O = 24 \)[/tex].
Dado que los valores no coinciden, podemos descartar la opción A.
### Opción B: [tex]\( f = 3(3^{n-2} - 1) \)[/tex]
Veamos si esta fórmula coincide con uno de los valores:
- Para [tex]\( n = 3 \)[/tex]:
[tex]\[ f = 3(3^{3-2} - 1) = 3(3^1 - 1) = 3(3 - 1) = 3 \cdot 2 = 6 \][/tex]
El resultado coincide con [tex]\( O = 6 \)[/tex].
- Para [tex]\( n = 4 \)[/tex]:
[tex]\[ f = 3(3^{4-2} - 1) = 3(3^2 - 1) = 3(9 - 1) = 3 \cdot 8 = 24 \][/tex]
El resultado coincide con [tex]\( O = 24 \)[/tex].
- Para [tex]\( n = 5 \)[/tex]:
[tex]\[ f = 3(3^{5-2} - 1) = 3(3^3 - 1) = 3(27 - 1) = 3 \cdot 26 = 78 \][/tex]
El resultado no coincide con [tex]\( O = 60 \)[/tex].
Entonces la opción B no es consistente con todos los datos.
### Opción C: [tex]\( f = \frac{n!}{(n-3)!} \)[/tex]
Verifiquemos esta fórmula:
- Para [tex]\( n = 3 \)[/tex]:
[tex]\[ f = \frac{3!}{(3-3)!} = \frac{6}{1} = 6 \][/tex]
El resultado coincide con [tex]\( O = 6 \)[/tex].
- Para [tex]\( n = 4 \)[/tex]:
[tex]\[ f = \frac{4!}{(4-3)!} = \frac{24}{1} = 24 \][/tex]
El resultado coincide con [tex]\( O = 24 \)[/tex].
- Para [tex]\( n = 5 \)[/tex]:
[tex]\[ f = \frac{5!}{(5-3)!} = \frac{120}{2} = 60 \][/tex]
El resultado coincide con [tex]\( O = 60 \)[/tex].
- Para [tex]\( n = 6 \)[/tex]:
[tex]\[ f = \frac{6!}{(6-3)!} = \frac{720}{6} = 120 \][/tex]
El resultado coincide con [tex]\( O = 120 \)[/tex].
La opción C es consistente con todos los datos dados.
### Opción D: [tex]\( f = n(n-1)(n-2)^2 \)[/tex]
Verifiquemos esta fórmula:
- Para [tex]\( n = 3 \)[/tex]:
[tex]\[ f = 3(3-1)(3-2)^2 = 3 \cdot 2 \cdot 1^2 = 6 \][/tex]
El resultado coincide con [tex]\( O = 6 \)[/tex].
- Para [tex]\( n = 4 \)[/tex]:
[tex]\[ f = 4(4-1)(4-2)^2 = 4 \cdot 3 \cdot 2^2 = 4 \cdot 3 \cdot 4 = 48 \][/tex]
Este resultado no coincide con [tex]\( O = 24 \)[/tex].
- Para [tex]\( n = 5 \)[/tex]:
[tex]\[ f = 5(5-1)(5-2)^2 = 5 \cdot 4 \cdot 3^2 = 5 \cdot 4 \cdot 9 = 180 \][/tex]
Este resultado no coincide con [tex]\( O = 60 \)[/tex].
Dado que los resultados no coinciden completamente, descartamos la opción D.
### Conclusión
La fórmula que mejor generaliza la relación entre el número de países participantes y el número de formas posibles de ocupar los tres primeros puestos, de acuerdo con los datos proporcionados, es:
[tex]\[ f = \frac{n!}{(n-3)!} \][/tex]
Por lo tanto, la opción correcta es la C.
