Para resolver el problema propuesto, necesitamos encontrar la altura máxima y el tiempo necesario para alcanzar esa altura en la trayectoria parabólica que describe Pedro con su bicicleta. La trayectoria está dada por la función [tex]\( f(x) = -3x^2 + 6x \)[/tex].
1. Identificación de la función cuadrática y sus parámetros:
La función [tex]\( f(x) = -3x^2 + 6x \)[/tex] es una parábola de la forma general [tex]\( ax^2 + bx + c \)[/tex]. En nuestro caso:
- [tex]\( a = -3 \)[/tex]
- [tex]\( b = 6 \)[/tex]
- [tex]\( c = 0 \)[/tex] (aunque el término [tex]\(c\)[/tex] no es necesario para el cálculo de la altura máxima, se sabe que es 0.)
2. Encontrar el vértice de la parábola:
La forma de una parábola [tex]\( ax^2 + bx + c \)[/tex] tiene su vértice (el punto más alto o más bajo en la parábola) en el punto donde [tex]\( x = -\frac{b}{2a} \)[/tex].
Vamos a calcular el valor de [tex]\( x \)[/tex] en el vértice:
[tex]\[
x = -\frac{b}{2a} = -\frac{6}{2(-3)} = -\frac{6}{-6} = 1
\][/tex]
Este valor de [tex]\( x \)[/tex] representa el tiempo en el cual Pedro alcanza la altura máxima.
3. Calcular la altura máxima:
Substituimos el valor de [tex]\( x \)[/tex] en la función [tex]\( f(x) \)[/tex] para calcular la altura que Pedro alcanza en ese instante.
[tex]\[
f(1) = -3(1)^2 + 6(1) = -3 \cdot 1 + 6 \cdot 1 = -3 + 6 = 3
\][/tex]
Por lo tanto, la altura máxima que Pedro alcanza en su bicicleta es 3 unidades (dependiendo de las unidades iniciales de la función, puede ser metros, centímetros, etc.).
4. Conclusión:
- La altura máxima que alcanza Pedro en su bicicleta es de 3 unidades.
- El tiempo que demora en alcanzar esta altura máxima es de 1 unidad de tiempo.
Así, las respuestas para el problema dado son:
- Altura máxima: [tex]\(3\)[/tex] unidades.
- Tiempo para alcanzar la altura máxima: [tex]\(1\)[/tex] unidad de tiempo.
