Claro, para calcular el valor de la expresión dada, debemos dividir el numerador entre el denominador según se indica:
[tex]\[ A = \frac{(1 \times 3 + 3 \times 5 + 5 \times 7 + \ldots) + n}{1^2 + 2^2 + 3^2 + \ldots} \][/tex]
Vamos a desglosarlo paso a paso.
### Paso 1: Calcular el numerador
El numerador consta de dos partes:
1. La suma de los productos de los números impares:
[tex]\[
S = 1 \times 3 + 3 \times 5 + 5 \times 7 + \ldots + (2n-1) \times (2n+1)
\][/tex]
2. El término adicional [tex]\(+n\)[/tex]:
Así que el numerador completo es:
[tex]\[
\text{numerador} = S + n
\][/tex]
Primero, calculemos [tex]\(S\)[/tex]:
Cada término en la suma [tex]\(S\)[/tex] se puede escribir como [tex]\((2i-1) \times (2i+1)\)[/tex], donde [tex]\(i\)[/tex] varía de 1 a [tex]\(n\)[/tex].
Expandiendo [tex]\((2i-1)(2i+1)\)[/tex] usando el producto notable, tenemos:
[tex]\[
(2i-1)(2i+1) = 4i^2 - 1
\][/tex]
Por lo tanto,
[tex]\[
S = \sum_{i=1}^n (4i^2 - 1) = 4 \sum_{i=1}^n i^2 - \sum_{i=1}^n 1
\][/tex]
Sabemos que la suma de los primeros [tex]\(n\)[/tex] enteros es:
[tex]\[
\sum_{i=1}^n 1 = n
\][/tex]
Y la suma de los cuadrados de los primeros [tex]\(n\)[/tex] enteros es:
[tex]\[
\sum_{i=1}^n i^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}
\][/tex]
Entonces sustituyendo estos resultados en [tex]\(S\)[/tex]:
[tex]\[
S = 4 \left(\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\right) - n = \frac{2n(n+1)(2n+1)}{3} - n
\][/tex]
El numerador completo:
[tex]\[
\text{numerador} = \frac{2n(n+1)(2n+1)}{3} - n + n = \frac{2n(n+1)(2n+1)}{3}
\][/tex]
### Paso 2: Calcular el denominador
El denominador es la suma de los cuadrados de los primeros [tex]\(n\)[/tex] números enteros:
[tex]\[
\text{denominador} = \sum_{i=1}^n i^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}
\][/tex]
### Paso 3: Calcular [tex]\(A\)[/tex]
Es simplemente el cociente del numerador y el denominador:
[tex]\[
A = \frac{\frac{2n(n+1)(2n+1)}{3}}{\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}} = \frac{\frac{2n(n+1)(2n+1)}{3}}{\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}} = \frac{2}{3} \times 6 = 4
\][/tex]
### Conclusión
El valor de [tex]\(A\)[/tex] es:
[tex]\[
A = 4
\][/tex]
