Claro, resolvamos cada uno de estos problemas de factorización paso a paso.
### Parte (a)
Tenemos:
[tex]\[ 4m^3n - 2mn + 6m = 2n(2m^2n - n + 3m) \][/tex]
Para verificar, distribuimos el [tex]\(2n\)[/tex] en el lado derecho:
[tex]\[ 2n(2m^2n) - 2n(n) + 2n(3m) = 4m^3n - 2mn + 6m \][/tex]
Así que, la factorización es correcta y no faltan términos.
### Parte (b)
[tex]\[ 3x^2y + 6x^2y^2 + 9x^2 = 3x^2(y + 2y^2 + 3) \][/tex]
Distribuimos el [tex]\(3x^2\)[/tex] para verificar:
[tex]\[ 3x^2(y) + 3x^2(2y^2) + 3x^2(3) = 3x^2y + 6x^2y^2 + 9x^2 \][/tex]
Así que la factorización correcta es:
[tex]\[ y + 2y^2 + 3 \][/tex]
### Parte (c)
[tex]\[ 4a^2 + \square + 20a^2b^2 = 4a(\square + 2b + \square) \][/tex]
Para factorear [tex]\(4a\)[/tex], dejamos fuera el monomio [tex]\(4a\)[/tex] y determinamos qué términos faltan dentro del paréntesis. Sabemos que [tex]\(4a^2\)[/tex] es el primer término y [tex]\(20a^2b^2\)[/tex] es el tercer término:
[tex]\[4a(a) + 4a(\text{algo}) + 4a(5ab^2) = 4a^2 + (algún término) + 20a^2b^2\][/tex]
El término del medio debe ser:
[tex]\[ 4a(2b) = 8ab \][/tex]
Conclusión:
[tex]\[ 4a^2 + 8ab + 20a^2b^2 = 4a(a + 2b + 5ab^2) \][/tex]
### Parte (d)
[tex]\[ 3mn^2 + 5m^2n^2 + 10m^3n^2 = mn^2(3 + \cdots + 10m^2) \][/tex]
Factorizamos [tex]\(mn^2\)[/tex] fuera:
[tex]\[ mn^2(3) + mn^2(5m) + mn^2(10m^2) = 3mn^2 + 5m^2n^2 + 10m^3n^2 \][/tex]
Factorizando, obtenemos:
[tex]\[ mn^2(3 + 5m + 10m^2) \][/tex]
### Parte (e)
[tex]\[ -36ab + 6a = 2a(\square - \square + \square) \][/tex]
Factorizamos [tex]\(2a\)[/tex]:
[tex]\[2a(-18b + 3) = -36ab + 6a\][/tex]
Por lo tanto:
[tex]\[2a(-18b + 3) \][/tex]
### Parte (f)
[tex]\[ 14a^2x^2 - 7ax^3 + \square = 7ax^2(\square - \square + 4a) \][/tex]
Dividimos y factorizamos [tex]\(7ax^2\)[/tex]:
[tex]\[ 7ax^2(2a) - 7ax^2(x) + \square = 14a^2x^2 - 7ax^3 + (\text{algo}) = 14a^2x^2 - 7ax^3 + 4 ]
Encontramos que el término desconocido es \( 4a \):
\[ 14a^2x^2 - 7ax^3 + \square = 7ax^2 (2a - x + 4) \][/tex]
### Parte (g)
[tex]\[ 4m^2 - 8m + 2 = \square (2m^2 - \square + \square) \][/tex]
Necesitamos factorizar el coeficiente constante en [tex]\(2(2m^2 - 4m + 1)\)[/tex]:
[tex]\[ 2(2m^2 - 4m + 1) \][/tex]
Entonces es:
[tex]\[ 4m^2 - 8m + 2 = 2(2m^2 - 4m + 1)\][/tex]
### Parte (h)
[tex]\[ 24a^2b^2 - 36ab + \square = 6a(-6b + 1) \][/tex]
Distribuimos 6a para ver qué necesitamos:
[tex]\[ 6a(4ab) - 6a(6b) + 6a(\text{algo}) = 24a^2b^2 - 36ab + (\text{algo})\][/tex]
El término es:
\[6a(-4b - 1) = 24a^2b^2 - 36ab + (\text{algo})
Entonces el término faltante era '0'.
En conclusión,
\[-36ab + 6a = 6a(-6b + 1)
Espero que esto te ayude en la solución de cada uno de estos problemas!
