¡Claro! Vamos a resolver cada problema paso a paso.
### Parte I: Expresar en forma logarítmica y encontrar el valor de [tex]\( x \)[/tex]
(1) [tex]\( 3^x = 81 \)[/tex]
Para resolver esta ecuación exponencial, primero expresamos 81 como una potencia de 3:
[tex]\[ 81 = 3^4 \][/tex]
Por lo tanto, se puede reescribir la ecuación como:
[tex]\[ 3^x = 3^4 \][/tex]
Comparando los exponentes, obtenemos:
[tex]\[ x = 4 \][/tex]
(2) [tex]\( 2^x = 128 \)[/tex]
Similarmente, expresamos 128 como una potencia de 2:
[tex]\[ 128 = 2^7 \][/tex]
Entonces, la ecuación se puede reescribir como:
[tex]\[ 2^x = 2^7 \][/tex]
Comparando los exponentes, obtenemos:
[tex]\[ x = 7 \][/tex]
### Parte II: Expresar en forma exponencial y encontrar el valor de [tex]\( x \)[/tex]
(1) [tex]\(\log_{10} 1000 = x\)[/tex]
Para convertir esta ecuación logarítmica en una exponencial:
[tex]\[ 10^x = 1000 \][/tex]
Sabemos que:
[tex]\[ 1000 = 10^3 \][/tex]
Por lo tanto:
[tex]\[ x = 3 \][/tex]
(2) [tex]\(\log_{10} 100 = x\)[/tex]
Igualmente, convertimos a forma exponencial:
[tex]\[ 10^x = 100 \][/tex]
Sabemos que:
[tex]\[ 100 = 10^2 \][/tex]
Por lo tanto:
[tex]\[ x = 2 \][/tex]
### Parte III: Utilizar las propiedades de los logaritmos para resolver
(1) [tex]\(\log_{2}(8 \cdot 16)\)[/tex]
Usando la propiedad del logaritmo [tex]\(\log_b(m \cdot n) = \log_b(m) + \log_b(n)\)[/tex]:
[tex]\[ \log_{2}(8 \cdot 16) = \log_{2}(8) + \log_{2}(16) \][/tex]
Sabemos que:
[tex]\[ 8 = 2^3 \text{ y } 16 = 2^4 \][/tex]
Entonces:
[tex]\[ \log_{2}(8) = 3 \text{ y } \log_{2}(16) = 4 \][/tex]
Por lo tanto:
[tex]\[ \log_{2}(8 \cdot 16) = 3 + 4 = 7 \][/tex]
(5) [tex]\(\log_{a} 1\)[/tex]
Para cualquier base [tex]\( a \)[/tex]:
[tex]\[ \log_{a} 1 = 0 \][/tex]
porque [tex]\( a^0 = 1 \)[/tex].
(2) [tex]\(\log_{2} 2^7\)[/tex]
Usando la propiedad [tex]\(\log_{b}(b^x) = x\)[/tex]:
[tex]\[ \log_{2}(2^7) = 7 \][/tex]
(3) [tex]\(\log_{3} \frac{45}{5}\)[/tex]
Usando la propiedad del logaritmo [tex]\(\log_b\left(\frac{m}{n}\right) = \log_b(m) - \log_b(n)\)[/tex]:
[tex]\[ \log_{3} \frac{45}{5} = \log_{3}(45) - \log_{3}(5) \][/tex]
Sabemos que:
[tex]\[ 45 = 5 \cdot 9 \text{ y } 9 = 3^2 \][/tex]
Entonces:
[tex]\[ \log_{3}(45) = \log_{3}(5 \cdot 3^2) = \log_{3}(5) + \log_{3}(3^2) = \log_{3}(5) + 2 \][/tex]
[tex]\[ \log_{3}(5) - \log_{3}(5) + 2 = 2 \][/tex]
Por lo tanto:
[tex]\[ \log_{3} \frac{45}{5} = 2 \][/tex]
(6) [tex]\(\log_{8} 8\)[/tex]
Para cualquier [tex]\( x \)[/tex]:
[tex]\[ \log_{x} x = 1 \][/tex]
porque [tex]\( x^1 = x \)[/tex].
(4) [tex]\(\log_{2} \sqrt[3]{16}\)[/tex]
Usando la propiedad del logaritmo [tex]\(\log_{b}(m^x) = x \cdot \log_{b}(m)\)[/tex]:
[tex]\[ \log_{2} \sqrt[3]{16} = \log_{2} (16^{1/3}) \][/tex]
Sabemos que:
[tex]\[ 16 = 2^4 \][/tex]
Entonces:
[tex]\[ (16)^{1/3} = (2^4)^{1/3} = 2^{4/3} \][/tex]
Por lo tanto:
[tex]\[ \log_{2} (2^{4/3}) = \frac{4}{3}\][/tex]
### Resumen de Resultados
[tex]\[
\begin{aligned}
&I(1): x = 4 \\
&I(2): x = 7 \\
&II(1): x = 3 \\
&II(2): x = 2 \\
&III(1): 7 \\
&III(5): 0 \\
&III(2): 7 \\
&III(3): 2 \\
&III(6): 1 \\
&III(4): \frac{4}{3} \\
\end{aligned}
\][/tex]
