Pentru a determina ultima cifră a numărului [tex]\(3^{2019} + 5^{2020} + 1^{2021}\)[/tex], vom analiza separat ultimele cifre ale fiecărei componente și apoi vom combina rezultatele.
### Pasul 1: Determinarea ultimei cifre a lui [tex]\(3^{2019}\)[/tex]
Observăm că ultimele cifre ale puterilor lui 3 formează un ciclu:
- [tex]\(3^1 = 3\)[/tex] (ultima cifră este 3)
- [tex]\(3^2 = 9\)[/tex] (ultima cifră este 9)
- [tex]\(3^3 = 27\)[/tex] (ultima cifră este 7)
- [tex]\(3^4 = 81\)[/tex] (ultima cifră este 1)
- [tex]\(3^5 = 243\)[/tex] (ultima cifră este 3, și ciclul se repetă)
Aceste ultime cifre se repetă în cicluri de 4: [tex]\(3, 9, 7, 1\)[/tex].
Pentru exponentul 2019, împărțim 2019 la 4 și luăm restul: [tex]\(2019 \mod 4 = 3\)[/tex]. Așadar, ultima cifră a lui [tex]\(3^{2019}\)[/tex] corespunde cu a treia cifră din ciclu, adică 7.
### Pasul 2: Determinarea ultimei cifre a lui [tex]\(5^{2020}\)[/tex]
Observăm că ultimele cifre ale puterilor lui 5 formează un ciclu simplu:
- [tex]\(5^1 = 5\)[/tex] (ultima cifră este 5)
- [tex]\(5^2 = 25\)[/tex] (ultima cifră este 5)
- [tex]\(5^3 = 125\)[/tex] (ultima cifră este 5)
Indiferent de puterea lui 5, ultima cifră rămâne mereu 5. Astfel, ultima cifră a lui [tex]\(5^{2020}\)[/tex] este 5.
### Pasul 3: Determinarea ultimei cifre a lui [tex]\(1^{2021}\)[/tex]
Pentru orice putere a lui 1, rezultatul este întotdeauna 1. Așadar, ultima cifră a lui [tex]\(1^{2021}\)[/tex] este 1.
### Pasul 4: Determinarea ultimei cifre a sumei [tex]\(3^{2019} + 5^{2020} + 1^{2021}\)[/tex]
Acum avem ultimele cifre ale fiecărei componente:
- Ultima cifră a lui [tex]\(3^{2019}\)[/tex] este 7
- Ultima cifră a lui [tex]\(5^{2020}\)[/tex] este 5
- Ultima cifră a lui [tex]\(1^{2021}\)[/tex] este 1
Adunăm aceste ultime cifre și determinăm ultima cifră a sumei:
[tex]\[ 7 + 5 + 1 = 13 \][/tex]
Prin urmare, ultima cifră a numărului [tex]\(3^{2019} + 5^{2020} + 1^{2021}\)[/tex] este ultima cifră a lui 13, care este 3.
### Concluzie
Ultima cifră a numărului [tex]\(3^{2019} + 5^{2020} + 1^{2021}\)[/tex] este 3.
