Sigur!
Vom analiza fiecare din expresiile [tex]$a = 5n + 3$[/tex], [tex]$b = 15n + 7$[/tex] și [tex]$c = 10n + 8$[/tex] pentru a determina dacă sunt pătrate perfecte pentru un anumit [tex]$n$[/tex] întreg. Un număr este pătrat perfect dacă rădăcina sa pătrată este un număr întreg.
Pasul 1: Analiza expresiei [tex]$a = 5n + 3$[/tex]
Pentru ca [tex]$a$[/tex] să fie un pătrat perfect, trebuie să existe un întreg [tex]$k$[/tex] astfel încât:
[tex]\[
5n + 3 = k^2
\][/tex]
Să analizăm modul în care [tex]$5n + 3$[/tex] se comportă pentru valori diferite ale lui [tex]$n$[/tex].
Dacă [tex]$n$[/tex] ia valori întregi, atunci:
[tex]\[
5n \][/tex] este întotdeauna [tex]\[ 0, 5, 10, 15, 20, \ldots
\][/tex]
Astfel, [tex]$5n + 3$[/tex] devine:
[tex]\[
3, 8, 13, 18, 23, 28, \ldots
\][/tex]
Examinând aceste valori, niciuna dintre ele nu este un pătrat perfect (nu sunt valori care să fie pătratul unui întreg).
Pasul 2: Analiza expresiei [tex]$b = 15n + 7$[/tex]
Pentru ca [tex]$b$[/tex] să fie un pătrat perfect, trebuie să existe un întreg [tex]$m$[/tex] astfel încât:
[tex]\[
15n + 7 = m^2
\][/tex]
La fel, să analizăm modul în care [tex]$15n + 7$[/tex] se comportă pentru valori diferite ale lui [tex]$n$[/tex].
Dacă [tex]$n$[/tex] ia valori întregi, atunci:
[tex]\[
15n \][/tex] este întotdeauna [tex]\[ 0, 15, 30, 45, 60, \ldots
\][/tex]
Astfel, [tex]$15n + 7$[/tex] devine:
[tex]\[
7, 22, 37, 52, 67, 82, \ldots
\][/tex]
Examinând aceste valori, niciuna dintre ele nu este un pătrat perfect (nu sunt valori care să fie pătratul unui întreg).
Pasul 3: Analiza expresiei [tex]$c = 10n + 8$[/tex]
Pentru ca [tex]$c$[/tex] să fie un pătrat perfect, trebuie să existe un întreg [tex]$p$[/tex] astfel încât:
[tex]\[
10n + 8 = p^2
\][/tex]
Să analizăm modul în care [tex]$10n + 8$[/tex] se comportă pentru valori diferite ale lui [tex]$n$[/tex].
Dacă [tex]$n$[/tex] ia valori întregi, atunci:
[tex]\[
10n \][/tex] este întotdeauna [tex]\[ 0, 10, 20, 30, 40, \ldots
\][/tex]
Astfel, [tex]$10n + 8$[/tex] devine:
[tex]\[
8, 18, 28, 38, 48, 58, \ldots
\][/tex]
Examinând aceste valori, niciuna dintre ele nu este un pătrat perfect (nu sunt valori care să fie pătratul unui întreg).
Concluzie:
După analiza făcută, putem concluziona că niciuna dintre expresiile [tex]$a = 5n + 3$[/tex], [tex]$b = 15n + 7$[/tex] sau [tex]$c = 10n + 8$[/tex] nu reprezintă pătrate perfecte pentru niciun întreg [tex]$n$[/tex].
