Para resolver este problema, sigamos estos pasos detallados para encontrar los valores de seno, coseno y tangente:
1. Identificar los valores dados:
[tex]\( Y = \sin(\alpha) = \frac{\sqrt{6}}{9} \quad \text{y} \quad \alpha \in \text{el segundo cuadrante (II C)} \)[/tex]
2. Seno:
Ya tenemos el valor del seno de [tex]\( \alpha \)[/tex]:
[tex]\[
\sin(\alpha) = \frac{\sqrt{6}}{9} = 0.2721655269759087
\][/tex]
3. Cálculo del coseno:
En el segundo cuadrante, el coseno es negativo. Para calcular el coseno, utilizamos la identidad pitagórica:
[tex]\[
(\sin(\alpha))^2 + (\cos(\alpha))^2 = 1
\][/tex]
Sustituyendo el valor dado:
[tex]\[
\left( \frac{\sqrt{6}}{9} \right)^2 + (\cos(\alpha))^2 = 1
\][/tex]
[tex]\[
\left( \frac{6}{81} \right) + (\cos(\alpha))^2 = 1
\][/tex]
Simplificando:
[tex]\[
\frac{6}{81} + (\cos(\alpha))^2 = 1
\][/tex]
[tex]\[
\frac{2}{27} + (\cos(\alpha))^2 = 1
\][/tex]
Restamos [tex]\( \frac{2}{27} \)[/tex] a ambos lados:
[tex]\[
(\cos(\alpha))^2 = 1 - \frac{2}{27}
\][/tex]
Simplificando el lado derecho:
[tex]\[
(\cos(\alpha))^2 = \frac{27}{27} - \frac{2}{27} = \frac{25}{27}
\][/tex]
Luego, tomamos la raíz cuadrada:
[tex]\[
\cos(\alpha) = \pm \sqrt{\frac{25}{27}} = \pm \frac{\sqrt{25}}{\sqrt{27}} = \pm \frac{5}{3\sqrt{3}}
\][/tex]
Ya que [tex]\( \alpha \)[/tex] está en el segundo cuadrante, el coseno es negativo:
[tex]\[
\cos(\alpha) = -\frac{5}{3\sqrt{3}} = -0.9622504486493763
\][/tex]
4. Cálculo de la tangente:
La tangente de [tex]\( \alpha \)[/tex] se define como:
[tex]\[
\tan(\alpha) = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}
\][/tex]
Sustituyendo los valores obtenidos:
[tex]\[
\tan(\alpha) = \frac{\frac{\sqrt{6}}{9}}{-\frac{5}{3\sqrt{3}}}
\][/tex]
Luego simplificamos:
[tex]\[
\tan(\alpha) = -\frac{\sqrt{6}}{3} \cdot \frac{3}{5\sqrt{3}}
\][/tex]
Simplificando los términos:
[tex]\[
\tan(\alpha) = -\frac{\sqrt{6} \cdot \sqrt{27}}{27} = -\frac{\sqrt{162}}{27} = -\frac{3\sqrt{6}}{27} = -\frac{\sqrt{6}}{9}
\][/tex]
Por lo tanto, la tangente de [tex]\( \alpha \)[/tex] es:
[tex]\[
\tan(\alpha) = -0.282842712474619
\][/tex]
Entonces, los valores calculados son:
- [tex]\( \sin(\alpha) = 0.2721655269759087 \)[/tex]
- [tex]\( \cos(\alpha) = -0.9622504486493763 \)[/tex]
- [tex]\( \tan(\alpha) = -0.282842712474619 \)[/tex]
Espero que esto te haya ayudado a entender el proceso de cálculo cuidadosamente.
