Untuk membuktikan bahwa [tex]\( \left(x^2 + 5x + 6\right) \)[/tex] adalah faktor dari polinom [tex]\( 6x^4 + 29x^3 + 16x^2 - 81x - 90 \)[/tex], kita akan melakukan pembagian polinom [tex]\( 6x^4 + 29x^3 + 16x^2 - 81x - 90 \)[/tex] dengan [tex]\( x^2 + 5x + 6 \)[/tex].
Berikut adalah langkah-langkah pembagian tersebut:
1. Tentukan Derajat Awal:
- Dividend: [tex]\( 6x^4 + 29x^3 + 16x^2 - 81x - 90 \)[/tex] (derajat 4)
- Divisor: [tex]\( x^2 + 5x + 6 \)[/tex] (derajat 2)
2. Pembagian Langkah Pertama:
Mengambil suku pertama dividend ([tex]\( 6x^4 \)[/tex]) dan suku pertama divisor ([tex]\( x^2 \)[/tex]):
[tex]\[
\frac{6x^4}{x^2} = 6x^2
\][/tex]
Kalikan hasil tersebut dengan divisor:
[tex]\[
6x^2 (x^2 + 5x + 6) = 6x^4 + 30x^3 + 36x^2
\][/tex]
Kurangkan hasil ini dari dividend:
[tex]\[
(6x^4 + 29x^3 + 16x^2 - 81x - 90) - (6x^4 + 30x^3 + 36x^2) = -x^3 - 20x^2 - 81x - 90
\][/tex]
3. Pembagian Langkah Kedua:
Mengulang proses dengan suku baru ([tex]\(-x^3\)[/tex]):
[tex]\[
\frac{-x^3}{x^2} = -x
\][/tex]
Kalikan hasil tersebut dengan divisor:
[tex]\[
-x (x^2 + 5x + 6) = -x^3 - 5x^2 - 6x
\][/tex]
Kurangkan hasil ini dari sisa sebelumnya:
[tex]\[
(-x^3 - 20x^2 - 81x - 90) - (-x^3 - 5x^2 - 6x) = -15x^2 - 75x - 90
\][/tex]
4. Pembagian Langkah Ketiga:
Mengulang proses dengan suku baru ([tex]\(-15x^2\)[/tex]):
[tex]\[
\frac{-15x^2}{x^2} = -15
\][/tex]
Kalikan hasil tersebut dengan divisor:
[tex]\[
-15 (x^2 + 5x + 6) = -15x^2 - 75x - 90
\][/tex]
Kurangkan hasil ini dari sisa sebelumnya:
[tex]\[
(-15x^2 - 75x - 90) - (-15x^2 - 75x - 90) = 0
\][/tex]
Karena sisa yang kita dapatkan adalah 0, ini berarti [tex]\( x^2 + 5x + 6 \)[/tex] benar-benar merupakan faktor dari [tex]\( 6x^4 + 29x^3 + 16x^2 - 81x - 90 \)[/tex].
Hasil pembagian yang merupakan faktor dari [tex]\( 6x^4 + 29x^3 + 16x^2 - 81x - 90 \)[/tex] oleh [tex]\( x^2 + 5x + 6 \)[/tex] adalah:
[tex]\[
6x^2 - x - 15
\][/tex]
Dengan sisa 0 dan kebenaran bahwa [tex]\( x^2 + 5x + 6 \)[/tex] adalah faktor dari polinom tersebut.
