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Simplificar la expresión trigonométrica.
[tex]\[ \cos \beta \left(\sec \beta - \frac{\cot \beta}{\csc \beta} \right) \][/tex]

A. 1
B. [tex]\(\operatorname{sen} \beta\)[/tex]
C. [tex]\(\operatorname{sen}^2 \beta\)[/tex]
D. [tex]\(\operatorname{sen}^2 \beta - \sec \beta\)[/tex]



Answer :

Para simplificar la expresión trigonométrica [tex]\(\cos \beta \left( \sec \beta - \frac{\cot \beta}{\csc \beta} \right)\)[/tex], sigamos los siguientes pasos:

1. Expresamos cada función trigonométrica en términos de [tex]\(\sin \beta\)[/tex] y [tex]\(\cos \beta\)[/tex]:
- [tex]\(\sec \beta = \frac{1}{\cos \beta}\)[/tex]
- [tex]\(\cot \beta = \frac{\cos \beta}{\sin \beta}\)[/tex]
- [tex]\(\csc \beta = \frac{1}{\sin \beta}\)[/tex]

2. Reescribimos la expresión interior utilizando estas relaciones:
[tex]\[ \sec \beta - \frac{\cot \beta}{\csc \beta} = \frac{1}{\cos \beta} - \frac{\frac{\cos \beta}{\sin \beta}}{\frac{1}{\sin \beta}} \][/tex]

3. Simplificamos la fracción [tex]\(\frac{\cot \beta}{\csc \beta}\)[/tex]:
[tex]\[ \frac{\cot \beta}{\csc \beta} = \frac{\frac{\cos \beta}{\sin \beta}}{\frac{1}{\sin \beta}} = \frac{\cos \beta}{\sin \beta} \times \sin \beta = \cos \beta \][/tex]

4. Sustituimos [tex]\(\frac{\cot \beta}{\csc \beta}\)[/tex] en la expresión original:
[tex]\[ \sec \beta - \frac{\cot \beta}{\csc \beta} = \frac{1}{\cos \beta} - \cos \beta \][/tex]

5. Ahora, multiplicamos [tex]\(\cos \beta\)[/tex] por la expresión simplificada:
[tex]\[ \cos \beta \left( \frac{1}{\cos \beta} - \cos \beta \right) = \cos \beta \left( \frac{1}{\cos \beta} \right) - \cos \beta \left( \cos \beta \right) \][/tex]

6. Simplificamos cada término por separado:
[tex]\[ \cos \beta \left( \frac{1}{\cos \beta} \right) = 1 \][/tex]
y
[tex]\[ \cos \beta \left( \cos \beta \right) = \cos^2 \beta \][/tex]

7. Combinamos los términos:
[tex]\[ 1 - \cos^2 \beta \][/tex]

8. Utilizamos la identidad trigonométrica fundamental [tex]\(\sin^2 \beta + \cos^2 \beta = 1\)[/tex] para sustituir:
[tex]\[ \sin^2 \beta = 1 - \cos^2 \beta \][/tex]

9. Finalmente, obtenemos la expresión simplificada:
[tex]\[ 1 - \cos^2 \beta = \sin^2 \beta \][/tex]

Por lo tanto, la expresión simplificada es [tex]\(\sin^2 \beta\)[/tex], que corresponde a la opción c.