Para resolver la ecuación exponencial [tex]\(7^{3-x} = 5^{x+1}\)[/tex] utilizando logaritmos, seguiré los siguientes pasos:
1. Tomar logaritmo en ambos lados de la ecuación:
[tex]\[
\log(7^{3-x}) = \log(5^{x+1})
\][/tex]
2. Aplicar la regla del logaritmo del exponente [tex]\( \log(b^a) = a \log(b) \)[/tex]:
[tex]\[
(3-x) \log(7) = (x+1) \log(5)
\][/tex]
3. Distribuir los logaritmos:
[tex]\[
3 \log(7) - x \log(7) = x \log(5) + \log(5)
\][/tex]
4. Reorganizar los términos para juntar todos los términos con [tex]\( x \)[/tex] en un lado de la ecuación:
[tex]\[
3 \log(7) - \log(5) = x \log(5) + x \log(7)
\][/tex]
5. Factorizar [tex]\( x \)[/tex] del lado derecho:
[tex]\[
3 \log(7) - \log(5) = x (\log(7) + \log(5))
\][/tex]
6. Despejar [tex]\( x \)[/tex]:
[tex]\[
x = \frac{3 \log(7) - \log(5)}{\log(7) + \log(5)}
\][/tex]
7. Simplificar aún más si es posible:
Sabemos que [tex]\(3 \log(7)\)[/tex] es [tex]\(\log(7^3)\)[/tex], entonces:
[tex]\[
x = \frac{\log(7^3) - \log(5)}{\log(7) + \log(5)}
\][/tex]
Y utilizando las propiedades de logaritmos, [tex]\(\log(a) - \log(b) = \log(\frac{a}{b})\)[/tex], podemos combinar los logaritmos en el numerador:
[tex]\[
x = \frac{\log(\frac{7^3}{5})}{\log(35)}
\][/tex]
8. Identificar la opción correcta:
La expresión anterior corresponde a la opción b.
Entonces, la respuesta correcta es:
b. [tex]\( x = \frac{\log \left(\frac{343}{5}\right)}{\log (35)} \)[/tex]
Finalmente, evaluamos esta expresión para obtener el valor numérico de [tex]\( x \)[/tex]:
[tex]\[ x \approx 1.1892766788522289 \][/tex]
