Para resolver este problema, primero identifiquemos los polinomios involucrados:
- Polinomio a dividir: [tex]\(6x^3 + 5x^2 + 0x + 1\)[/tex]
- Divisor: [tex]\(x + 1\)[/tex]
Usaremos la regla de Ruffini para realizar la división sintética. La raíz del divisor [tex]\(x + 1\)[/tex] es [tex]\(-1\)[/tex].
### Paso 1: Escribimos los coeficientes del polinomio
Los coeficientes del polinomio a dividir son: [tex]\([6, 5, 0, 1]\)[/tex].
### Paso 2: Realizamos la división sintética utilizando la raíz [tex]\(-1\)[/tex]
1. Bajamos el primer coeficiente: 6.
2. Multiplicamos 6 por [tex]\(-1\)[/tex] y sumamos al siguiente coeficiente:
[tex]\[
6 \times (-1) + 5 = -6 + 5 = -1
\][/tex]
3. Multiplicamos [tex]\(-1\)[/tex] por [tex]\(-1\)[/tex] y sumamos al siguiente coeficiente:
[tex]\[
-1 \times (-1) + 0 = 1 + 0 = 1
\][/tex]
4. Multiplicamos 1 por [tex]\(-1\)[/tex] y sumamos al siguiente coeficiente:
[tex]\[
1 \times (-1) + 1 = -1 + 1 = 0
\][/tex]
Los coeficientes del cociente son [tex]\([6, -1, 1]\)[/tex], y el residuo es 0.
### Paso 3: Formamos el polinomio cociente
El polinomio cociente, con sus coeficientes ordenados de mayor a menor grado, se escribe como [tex]\(6x^2 - x + 1\)[/tex].
### Paso 4: Verificación con las opciones dadas
Revisamos cuál de las opciones corresponde a nuestra solución:
a. [tex]\(\left(6x^2 - x - 1\right)(x + 1)\)[/tex]
b. [tex]\(\left(6x^2 - x + 1\right)(x + 1)\)[/tex]
c. [tex]\(\left(6x^2 + x - 1\right)(x + 1)\)[/tex]
d. [tex]\(\left(6x^2 + x + 1\right)(x + 1)\)[/tex]
La correcta es la opción b: [tex]\(\left(6x^2 - x + 1\right)(x + 1)\)[/tex].
Por lo tanto, la expresión que representa la división de los polinomios [tex]\(6x^3 + 5x^2 + 1\)[/tex] entre [tex]\(x + 1\)[/tex] utilizando la regla de Ruffini es:
b. [tex]\(\left(6x^2 - x + 1\right)(x + 1)\)[/tex].
