Para determinar en cuál de las siguientes igualdades las variables [tex]\( x \)[/tex] e [tex]\( y \)[/tex] son inversamente proporcionales, debemos entender que dos variables son inversamente proporcionales cuando el producto de estas variables es constante. Es decir, su relación puede expresarse como [tex]\( x \cdot y = \text{constante} \)[/tex].
Analicemos cada opción:
- Opción A: [tex]\( x + y = 5 \)[/tex]
- En esta ecuación, la suma de [tex]\( x \)[/tex] e [tex]\( y \)[/tex] es constante, pero esto no indica una relación de proporcionalidad inversa. Por lo tanto, [tex]\( x \)[/tex] e [tex]\( y \)[/tex] no son inversamente proporcionales.
- Opción B: [tex]\( x - y = 5 \)[/tex]
- En esta ecuación, la diferencia entre [tex]\( x \)[/tex] e [tex]\( y \)[/tex] es constante. Tampoco indica una relación de proporcionalidad inversa. Así que [tex]\( x \)[/tex] e [tex]\( y \)[/tex] no son inversamente proporcionales.
- Opción C: [tex]\( x : y = 5 \)[/tex]
- Aquí se expresa la relación de [tex]\( x \)[/tex] e [tex]\( y \)[/tex] como una razón o cociente que es constante. Esto no es una relación de proporcionalidad inversa. En lugar de eso, es un caso de proporcionalidad directa.
- Opción D: [tex]\( x \cdot y = 5 \)[/tex]
- Esta ecuación indica que el producto de [tex]\( x \)[/tex] e [tex]\( y \)[/tex] es constante. Esto es precisamente la definición de una relación de proporcionalidad inversa entre [tex]\( x \)[/tex] e [tex]\( y \)[/tex]. Cuando una variable aumenta, la otra disminuye de manera que su producto siempre permanece igual a 5.
Por lo tanto, la opción correcta es:
D [tex]\( x \cdot y = 5 \)[/tex]
En conclusión, las variables [tex]\( x \)[/tex] e [tex]\( y \)[/tex] son inversamente proporcionales en la igualdad proporcionada en la opción D, ya que su producto es constante.
