Para factorizar el polinomio [tex]\( 9x^2 + 11xy + 2y^2 + 26x + 5y - 3 \)[/tex] y dar uno de sus factores primos, sigamos los siguientes pasos:
1. Comencemos por observar el polinomio:
[tex]\[
9x^2 + 11xy + 2y^2 + 26x + 5y - 3
\][/tex]
2. Intentamos reescribir este polinomio como un producto de dos binomios o polinomios:
[tex]\[
(Ax + By + C)(Dx + Ey + F)
\][/tex]
donde [tex]\( A, B, C, D, E, \)[/tex] y [tex]\( F \)[/tex] son constantes que necesitamos determinar.
3. Notamos que el polinomio dado puede ser factorizado en el siguiente producto de binomios:
[tex]\[
(x + y + 3)(9x + 2y - 1)
\][/tex]
Para ver si esta factorización es correcta, podemos expandir los binomios:
[tex]\[
\begin{align*}
(x + y + 3)(9x + 2y - 1) &= x(9x) + x(2y) + x(-1) + y(9x) + y(2y) + y(-1) + 3(9x) + 3(2y) + 3(-1) \\
&= 9x^2 + 2xy - x + 9xy + 2y^2 - y + 27x + 6y - 3 \\
&= 9x^2 + 11xy + 2y^2 + 26x + 5y - 3
\end{align*}
\][/tex]
Este resultado coincide con el polinomio original, por lo tanto, la factorización es correcta.
4. Volviendo a la pregunta, hemos factorado el polinomio y ahora debemos dar uno de los factores primos. Podemos elegir:
[tex]\[
x + y + 3
\][/tex]
Por lo tanto, el polinomio [tex]\( 9x^2 + 11xy + 2y^2 + 26x + 5y - 3 \)[/tex] se puede factorizar como [tex]\((x + y + 3)(9x + 2y - 1)\)[/tex], y uno de los factores primos es [tex]\( x + y + 3 \)[/tex].
