Answer :
Para resolver el problema, seguiremos los pasos siguientes para encontrar la distancia que el excursionista está desde su campamento mediante la suma vectorial.
### Paso 1: Convertir los ángulos a radianes
Para trabajar de manera precisa, convertimos los ángulos dados a radianes:
- El primer desplazamiento es de [tex]\(500 \, \text{m}\)[/tex] hacia [tex]\(30^\circ \text{NO}\)[/tex]. En la notación de coordenadas estándar (desde el este hacia el norte), esto sería:
[tex]\[ \theta_1 = 180^\circ - 30^\circ = 150^\circ \][/tex]
Convertimos este ángulo a radianes:
[tex]\[ \theta_1 = \frac{150 \, \text{grados} \times \pi}{180 \, \text{grados}} = \frac{5\pi}{6} \, \text{radianes} \][/tex]
- El segundo desplazamiento es de [tex]\(300 \, \text{m}\)[/tex] hacia [tex]\(60^\circ \text{NE}\)[/tex]:
[tex]\[ \theta_2 = 60^\circ \][/tex]
Convertimos este ángulo a radianes:
[tex]\[ \theta_2 = \frac{60 \, \text{grados} \times \pi}{180 \, \text{grados}} = \frac{\pi}{3} \, \text{radianes} \][/tex]
- El tercer desplazamiento es de [tex]\(200 \, \text{m}\)[/tex] hacia el sur, que equivaldría a:
[tex]\[ \theta_3 = 360^\circ - 170^\circ = 190^\circ \][/tex]
Convertimos este ángulo a radianes:
[tex]\[ \theta_3 = \frac{190 \, \text{grados} \times \pi}{180 \, \text{grados}} = \frac{19\pi}{18} \, \text{radianes} \][/tex]
### Paso 2: Calcular los componentes de cada vector de desplazamiento
Usamos las funciones de seno y coseno para encontrar los componentes [tex]\(x\)[/tex] y [tex]\(y\)[/tex] de cada desplazamiento:
1. Para el primer desplazamiento ([tex]\(\vec{D_1}\)[/tex]):
[tex]\[ \vec{D_1} = \left[500 \cos\left(\frac{5\pi}{6}\right), 500 \sin\left(\frac{5\pi}{6}\right)\right] \][/tex]
Aproximadamente, los componentes son:
[tex]\[ \vec{D_1} = \left[ -433.01, 250 \right] \, \text{m} \][/tex]
2. Para el segundo desplazamiento ([tex]\(\vec{D_2}\)[/tex]):
[tex]\[ \vec{D_2} = \left[300 \cos\left(\frac{\pi}{3}\right), 300 \sin\left(\frac{\pi}{3}\right)\right] \][/tex]
Aproximadamente, los componentes son:
[tex]\[ \vec{D_2} = \left[ 150, 259.81 \right] \, \text{m} \][/tex]
3. Para el tercer desplazamiento ([tex]\(\vec{D_3}\)[/tex]):
[tex]\[ \vec{D_3} = \left[200 \cos\left(\frac{19\pi}{18}\right), 200 \sin\left(\frac{19\pi}{18}\right)\right] \][/tex]
Aproximadamente, los componentes son:
[tex]\[ \vec{D_3} = \left[ -196.96, -34.73 \right] \, \text{m} \][/tex]
### Paso 3: Sumar los vectores
Sumamos las componentes [tex]\(x\)[/tex] y [tex]\(y\)[/tex] de cada uno de los vectores para obtener el desplazamiento resultante:
[tex]\[ \vec{R} = \vec{D_1} + \vec{D_2} + \vec{D_3} \][/tex]
[tex]\[ \vec{R} = \left[ -433.01 + 150 - 196.96, 250 + 259.81 - 34.73 \right] \][/tex]
[tex]\[ \vec{R} = \left[ -479.97, 475.08 \right] \, \text{m} \][/tex]
### Paso 4: Calcular la magnitud del desplazamiento resultante
Usamos el teorema de Pitágoras para calcular la distancia a la que se encuentra el excursionista de su campamento:
[tex]\[ R = \sqrt{(-479.97)^2 + (475.08)^2} \][/tex]
Calculando la magnitud obtenemos:
[tex]\[ R \approx 675.33 \, \text{m} \][/tex]
### Conclusión
El excursionista se encuentra aproximadamente a [tex]\(675.33 \, \text{m}\)[/tex] de su campamento después de realizar los movimientos descritos.
### Paso 1: Convertir los ángulos a radianes
Para trabajar de manera precisa, convertimos los ángulos dados a radianes:
- El primer desplazamiento es de [tex]\(500 \, \text{m}\)[/tex] hacia [tex]\(30^\circ \text{NO}\)[/tex]. En la notación de coordenadas estándar (desde el este hacia el norte), esto sería:
[tex]\[ \theta_1 = 180^\circ - 30^\circ = 150^\circ \][/tex]
Convertimos este ángulo a radianes:
[tex]\[ \theta_1 = \frac{150 \, \text{grados} \times \pi}{180 \, \text{grados}} = \frac{5\pi}{6} \, \text{radianes} \][/tex]
- El segundo desplazamiento es de [tex]\(300 \, \text{m}\)[/tex] hacia [tex]\(60^\circ \text{NE}\)[/tex]:
[tex]\[ \theta_2 = 60^\circ \][/tex]
Convertimos este ángulo a radianes:
[tex]\[ \theta_2 = \frac{60 \, \text{grados} \times \pi}{180 \, \text{grados}} = \frac{\pi}{3} \, \text{radianes} \][/tex]
- El tercer desplazamiento es de [tex]\(200 \, \text{m}\)[/tex] hacia el sur, que equivaldría a:
[tex]\[ \theta_3 = 360^\circ - 170^\circ = 190^\circ \][/tex]
Convertimos este ángulo a radianes:
[tex]\[ \theta_3 = \frac{190 \, \text{grados} \times \pi}{180 \, \text{grados}} = \frac{19\pi}{18} \, \text{radianes} \][/tex]
### Paso 2: Calcular los componentes de cada vector de desplazamiento
Usamos las funciones de seno y coseno para encontrar los componentes [tex]\(x\)[/tex] y [tex]\(y\)[/tex] de cada desplazamiento:
1. Para el primer desplazamiento ([tex]\(\vec{D_1}\)[/tex]):
[tex]\[ \vec{D_1} = \left[500 \cos\left(\frac{5\pi}{6}\right), 500 \sin\left(\frac{5\pi}{6}\right)\right] \][/tex]
Aproximadamente, los componentes son:
[tex]\[ \vec{D_1} = \left[ -433.01, 250 \right] \, \text{m} \][/tex]
2. Para el segundo desplazamiento ([tex]\(\vec{D_2}\)[/tex]):
[tex]\[ \vec{D_2} = \left[300 \cos\left(\frac{\pi}{3}\right), 300 \sin\left(\frac{\pi}{3}\right)\right] \][/tex]
Aproximadamente, los componentes son:
[tex]\[ \vec{D_2} = \left[ 150, 259.81 \right] \, \text{m} \][/tex]
3. Para el tercer desplazamiento ([tex]\(\vec{D_3}\)[/tex]):
[tex]\[ \vec{D_3} = \left[200 \cos\left(\frac{19\pi}{18}\right), 200 \sin\left(\frac{19\pi}{18}\right)\right] \][/tex]
Aproximadamente, los componentes son:
[tex]\[ \vec{D_3} = \left[ -196.96, -34.73 \right] \, \text{m} \][/tex]
### Paso 3: Sumar los vectores
Sumamos las componentes [tex]\(x\)[/tex] y [tex]\(y\)[/tex] de cada uno de los vectores para obtener el desplazamiento resultante:
[tex]\[ \vec{R} = \vec{D_1} + \vec{D_2} + \vec{D_3} \][/tex]
[tex]\[ \vec{R} = \left[ -433.01 + 150 - 196.96, 250 + 259.81 - 34.73 \right] \][/tex]
[tex]\[ \vec{R} = \left[ -479.97, 475.08 \right] \, \text{m} \][/tex]
### Paso 4: Calcular la magnitud del desplazamiento resultante
Usamos el teorema de Pitágoras para calcular la distancia a la que se encuentra el excursionista de su campamento:
[tex]\[ R = \sqrt{(-479.97)^2 + (475.08)^2} \][/tex]
Calculando la magnitud obtenemos:
[tex]\[ R \approx 675.33 \, \text{m} \][/tex]
### Conclusión
El excursionista se encuentra aproximadamente a [tex]\(675.33 \, \text{m}\)[/tex] de su campamento después de realizar los movimientos descritos.
