Claro, vamos a resolver este sistema de ecuaciones lineales usando el método de igualación. Este método consiste en despejar una de las variables en una de las ecuaciones, sustituirla en las otras ecuaciones y continuar el proceso hasta encontrar los valores de todas las variables. Vamos a pasar por los pasos relevantes a continuación.
Dado el sistema de ecuaciones:
1. [tex]\( 4x - y - 2z = -4 \)[/tex]
2. [tex]\( 2x + 4y - z = -2 \)[/tex]
3. [tex]\( 6x + y + 4z = 15 \)[/tex]
### Paso 1: Despejar una de las variables
Primero, despejemos [tex]\( y \)[/tex] de la primera ecuación:
[tex]\[ 4x - y - 2z = -4 \][/tex]
[tex]\[ \Rightarrow y = 4x - 2z + 4 \][/tex]
### Paso 2: Sustituir la expresión de [tex]\( y \)[/tex] en las otras dos ecuaciones:
Sustituyamos [tex]\( y = 4x - 2z + 4 \)[/tex] en las ecuaciones (2) y (3):
Para la ecuación (2):
[tex]\[ 2x + 4(4x - 2z + 4) - z = -2 \][/tex]
[tex]\[ 2x + 16x - 8z + 16 - z = -2 \][/tex]
[tex]\[ 18x - 9z + 16 = -2 \][/tex]
[tex]\[ 18x - 9z = -18 \][/tex]
[tex]\[ 2x - z = -2 \][/tex]
Para la ecuación (3):
[tex]\[ 6x + (4x - 2z + 4) + 4z = 15 \][/tex]
[tex]\[ 6x + 4x - 2z + 4 + 4z = 15 \][/tex]
[tex]\[ 10x + 2z + 4 = 15 \][/tex]
[tex]\[ 10x + 2z = 11 \][/tex]
[tex]\[ 5x + z = \frac{11}{2} \][/tex]
### Paso 3: Resolver el nuevo sistema de ecuaciones en [tex]\( x \)[/tex] y [tex]\( z \)[/tex]
Ahora tenemos el sistema:
1. [tex]\( 2x - z = -2 \)[/tex]
2. [tex]\( 5x + z = \frac{11}{2} \)[/tex]
Sumemos las dos ecuaciones para eliminar [tex]\( z \)[/tex]:
[tex]\[ (2x - z) + (5x + z) = -2 + \frac{11}{2} \][/tex]
[tex]\[ 7x = \frac{7}{2} \][/tex]
[tex]\[ x = \frac{1}{2} \][/tex]
### Paso 4: Encontrar [tex]\( z \)[/tex]
Usamos el valor de [tex]\( x = \frac{1}{2} \)[/tex] en una de las ecuaciones para encontrar [tex]\( z \)[/tex], por ejemplo, en [tex]\( 2x - z = -2 \)[/tex]:
[tex]\[ 2\left(\frac{1}{2}\right) - z = -2 \][/tex]
[tex]\[ 1 - z = -2 \][/tex]
[tex]\[ z = 3 \][/tex]
### Paso 5: Encontrar [tex]\( y \)[/tex]
Con los valores de [tex]\( x \)[/tex] y [tex]\( z \)[/tex], sustituimos en la expresión despejada para [tex]\( y \)[/tex]:
[tex]\[ y = 4x - 2z + 4 \][/tex]
[tex]\[ y = 4\left(\frac{1}{2}\right) - 2(3) + 4 \][/tex]
[tex]\[ y = 2 - 6 + 4 \][/tex]
[tex]\[ y = 0 \][/tex]
### Resultado Final
Los valores de [tex]\( x \)[/tex], [tex]\( y \)[/tex] y [tex]\( z \)[/tex] que satisfacen el sistema de ecuaciones son:
[tex]\[ x = \frac{1}{2}, \quad y = 0, \quad z = 3 \][/tex]
Estos valores son la solución del sistema de ecuaciones dado.
