Câu 4: Cho phương trình lượng giác [tex]2 \cos x = \sqrt{3}[/tex]. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

a) Phương trình có nghiệm [tex]x = \pm \frac{\pi}{3} + k 2 \pi \, (k \in \mathbb{Z})[/tex]

b) Trong đoạn [tex]\left[0 ; \frac{5 \pi}{2}\right][/tex] phương trình có 4 nghiệm

c) Tổng các nghiệm của phương trình trong đoạn [tex]\left[0 ; \frac{5 \pi}{2}\right][/tex] bằng [tex]\frac{25 \pi}{6}[/tex]

d) Trong đoạn [tex]\left[0 ; \frac{5 \pi}{2}\right][/tex] phương trình có nghiệm lớn nhất bằng [tex]\frac{13 \pi}{6}[/tex]



Answer :

Chúng ta sẽ giải phương trình [tex]\(2 \cos x = \sqrt{3}\)[/tex] và kiểm tra các khẳng định đã cho.

### Bước 1: Giải phương trình [tex]\(2 \cos x = \sqrt{3}\)[/tex]
Trước hết, ta chuyển về dạng cơ bản của hàm cos:
[tex]\[ \cos x = \frac{\sqrt{3}}{2} \][/tex]

Ta biết rằng:
[tex]\[ \cos x = \frac{\sqrt{3}}{2} \][/tex]
thì:
[tex]\[ x = \pm \frac{\pi}{6} + k2\pi \quad (k \in \mathbb{Z}) \][/tex]

### Bước 2: Xét khẳng định (a)
Khẳng định (a) nói rằng phương trình có nghiệm [tex]\( x = \pm \frac{\pi}{3} + k2\pi \)[/tex]. Tuy nhiên, nghiệm của chúng ta là:
[tex]\[ x = \pm \frac{\pi}{6} + k2\pi \quad (k \in \mathbb{Z}) \][/tex]

Do đó khẳng định (a) là sai.

### Bước 3: Xét khẳng định (b)
Khẳng định (b) cho rằng trong đoạn [tex]\(\left[0 ; \frac{5 \pi}{2}\right]\)[/tex] phương trình có 4 nghiệm. Chúng ta phải tìm các nghiệm trong đoạn này.

Ta xét các nghiệm [tex]\( x = \pm \frac{\pi}{6} + k2\pi \)[/tex]:

1. Khi [tex]\( k = 0 \)[/tex]:
[tex]\[ x = \frac{\pi}{6} \quad \text{và} \quad x = -\frac{\pi}{6} \][/tex]
Nghiệm [tex]\( -\frac{\pi}{6} \)[/tex] không thuộc đoạn [tex]\(\left[0 ; \frac{5 \pi}{2}\right]\)[/tex].

2. Khi [tex]\( k = 1 \)[/tex]:
[tex]\[ x = \frac{\pi}{6} + 2\pi = \frac{\pi}{6} + \frac{12\pi}{6} = \frac{13\pi}{6} \][/tex]
[tex]\[ x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi = -\frac{\pi}{6} + \frac{12\pi}{6} = \frac{11\pi}{6} \][/tex]

3. Khi [tex]\( k = -1 \)[/tex]:
[tex]\[ x = \frac{\pi}{6} - 2\pi = \frac{\pi}{6} - \frac{12\pi}{6} = -\frac{11\pi}{6} \][/tex]
[tex]\[ x = -\frac{\pi}{6} - 2\pi = -\frac{\pi}{6} - \frac{12\pi}{6} = -\frac{13\pi}{6} \][/tex]
Các nghiệm này nằm ngoài khoảng [tex]\(\left[0 ; \frac{5\pi}{2}\right]\)[/tex].

4. Khi [tex]\( k = 2 \)[/tex]:
[tex]\[ x = \frac{\pi}{6} + 4\pi = \frac{\pi}{6} + \frac{24\pi}{6} = \frac{25\pi}{6} \][/tex]
Nghiệm này nằm ngoài đoạn [tex]\(\left[0 ; \frac{5\pi}{2}\right]\)[/tex].

Như vậy, các nghiệm thỏa trong đoạn [tex]\(\left[0 ; \frac{5\pi}{2}\right]\)[/tex] là: [tex]\(\frac{\pi}{6}, \frac{11\pi}{6}, \frac{13\pi}{6}\)[/tex].

Do đó khẳng định (b) là sai vì chỉ có 3 nghiệm.

### Bước 4: Xét khẳng định (c)
Khẳng định (c) nói rằng tổng các nghiệm trong đoạn [tex]\(\left[0 ; \frac{5 \pi}{2}\right]\)[/tex] bằng [tex]\(\frac{25 \pi}{6}\)[/tex]. Tính tổng các nghiệm:
[tex]\[ \frac{\pi}{6} + \frac{11\pi}{6} + \frac{13\pi}{6} = \frac{\pi + 11\pi + 13\pi}{6} = \frac{25\pi}{6} \][/tex]

Khẳng định (c) là đúng.

### Bước 5: Xét khẳng định (d)
Khẳng định (d) nói rằng phương trình có nghiệm lớn nhất trong đoạn [tex]\(\left[0 ; \frac{5 \pi}{2}\right]\)[/tex] bằng [tex]\(\frac{13 \pi}{6}\)[/tex]. Các nghiệm trong đoạn này là:
[tex]\[ \frac{\pi}{6}, \frac{11\pi}{6}, \frac{13\pi}{6} \][/tex]

Nghiệm lớn nhất là [tex]\(\frac{13\pi}{6}\)[/tex].

Khẳng định (d) là đúng.

### Kết luận:
- (a) Sai
- (b) Sai
- (c) Đúng
- (d) Đúng