Chúng ta sẽ giải phương trình [tex]\(2 \cos x = \sqrt{3}\)[/tex] và kiểm tra các khẳng định đã cho.
### Bước 1: Giải phương trình [tex]\(2 \cos x = \sqrt{3}\)[/tex]
Trước hết, ta chuyển về dạng cơ bản của hàm cos:
[tex]\[ \cos x = \frac{\sqrt{3}}{2} \][/tex]
Ta biết rằng:
[tex]\[ \cos x = \frac{\sqrt{3}}{2} \][/tex]
thì:
[tex]\[ x = \pm \frac{\pi}{6} + k2\pi \quad (k \in \mathbb{Z}) \][/tex]
### Bước 2: Xét khẳng định (a)
Khẳng định (a) nói rằng phương trình có nghiệm [tex]\( x = \pm \frac{\pi}{3} + k2\pi \)[/tex]. Tuy nhiên, nghiệm của chúng ta là:
[tex]\[ x = \pm \frac{\pi}{6} + k2\pi \quad (k \in \mathbb{Z}) \][/tex]
Do đó khẳng định (a) là sai.
### Bước 3: Xét khẳng định (b)
Khẳng định (b) cho rằng trong đoạn [tex]\(\left[0 ; \frac{5 \pi}{2}\right]\)[/tex] phương trình có 4 nghiệm. Chúng ta phải tìm các nghiệm trong đoạn này.
Ta xét các nghiệm [tex]\( x = \pm \frac{\pi}{6} + k2\pi \)[/tex]:
1. Khi [tex]\( k = 0 \)[/tex]:
[tex]\[ x = \frac{\pi}{6} \quad \text{và} \quad x = -\frac{\pi}{6} \][/tex]
Nghiệm [tex]\( -\frac{\pi}{6} \)[/tex] không thuộc đoạn [tex]\(\left[0 ; \frac{5 \pi}{2}\right]\)[/tex].
2. Khi [tex]\( k = 1 \)[/tex]:
[tex]\[ x = \frac{\pi}{6} + 2\pi = \frac{\pi}{6} + \frac{12\pi}{6} = \frac{13\pi}{6} \][/tex]
[tex]\[ x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi = -\frac{\pi}{6} + \frac{12\pi}{6} = \frac{11\pi}{6} \][/tex]
3. Khi [tex]\( k = -1 \)[/tex]:
[tex]\[ x = \frac{\pi}{6} - 2\pi = \frac{\pi}{6} - \frac{12\pi}{6} = -\frac{11\pi}{6} \][/tex]
[tex]\[ x = -\frac{\pi}{6} - 2\pi = -\frac{\pi}{6} - \frac{12\pi}{6} = -\frac{13\pi}{6} \][/tex]
Các nghiệm này nằm ngoài khoảng [tex]\(\left[0 ; \frac{5\pi}{2}\right]\)[/tex].
4. Khi [tex]\( k = 2 \)[/tex]:
[tex]\[ x = \frac{\pi}{6} + 4\pi = \frac{\pi}{6} + \frac{24\pi}{6} = \frac{25\pi}{6} \][/tex]
Nghiệm này nằm ngoài đoạn [tex]\(\left[0 ; \frac{5\pi}{2}\right]\)[/tex].
Như vậy, các nghiệm thỏa trong đoạn [tex]\(\left[0 ; \frac{5\pi}{2}\right]\)[/tex] là: [tex]\(\frac{\pi}{6}, \frac{11\pi}{6}, \frac{13\pi}{6}\)[/tex].
Do đó khẳng định (b) là sai vì chỉ có 3 nghiệm.
### Bước 4: Xét khẳng định (c)
Khẳng định (c) nói rằng tổng các nghiệm trong đoạn [tex]\(\left[0 ; \frac{5 \pi}{2}\right]\)[/tex] bằng [tex]\(\frac{25 \pi}{6}\)[/tex]. Tính tổng các nghiệm:
[tex]\[ \frac{\pi}{6} + \frac{11\pi}{6} + \frac{13\pi}{6} = \frac{\pi + 11\pi + 13\pi}{6} = \frac{25\pi}{6} \][/tex]
Khẳng định (c) là đúng.
### Bước 5: Xét khẳng định (d)
Khẳng định (d) nói rằng phương trình có nghiệm lớn nhất trong đoạn [tex]\(\left[0 ; \frac{5 \pi}{2}\right]\)[/tex] bằng [tex]\(\frac{13 \pi}{6}\)[/tex]. Các nghiệm trong đoạn này là:
[tex]\[ \frac{\pi}{6}, \frac{11\pi}{6}, \frac{13\pi}{6} \][/tex]
Nghiệm lớn nhất là [tex]\(\frac{13\pi}{6}\)[/tex].
Khẳng định (d) là đúng.
### Kết luận:
- (a) Sai
- (b) Sai
- (c) Đúng
- (d) Đúng
