Chúng ta hãy đi vào chi tiết từng phát biểu trong bài toán để xác định tính đúng sai của chúng.
Phương trình lượng giác được cho là [tex]\(\sin x = -\frac{1}{2}\)[/tex].
Phát biểu a) Phương trình đã cho tương đương [tex]\(\sin x = \sin \left(\frac{\pi}{6}\right)\)[/tex]:
[tex]\(\sin \left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2}\)[/tex]. Tuy nhiên, trong phương trình đã cho [tex]\(\sin x\)[/tex] bằng [tex]\(-\frac{1}{2}\)[/tex], không phải [tex]\(\frac{1}{2}\)[/tex]. Do đó, [tex]\( \sin x = \sin \left(\frac{\pi}{6}\right)\)[/tex] là một phát biểu sai.
=> Phát biểu a là sai.
Phát biểu b) Phương trình đã cho có nghiệm là [tex]\(x = -\frac{\pi}{6} + k2\pi\)[/tex] và [tex]\(x = \frac{7\pi}{6} + k2\pi \ (k \in \mathbb{Z})\)[/tex]:
Để giải [tex]\(\sin x = -\frac{1}{2}\)[/tex], ta tìm x thoả mãn:
- [tex]\(\sin\left(-\frac{\pi}{6}\right) = -\frac{1}{2}\)[/tex]
- [tex]\(\sin\left(\frac{7\pi}{6}\right) = -\frac{1}{2}\)[/tex]
Do đó, nghiệm tổng quát sẽ là [tex]\(x = -\frac{\pi}{6} + k2\pi\)[/tex] hoặc [tex]\(x = \frac{7\pi}{6} + k2\pi \ (k \in \mathbb{Z})\)[/tex].
=> Phát biểu b là đúng.
Phát biểu c) Phương trình đã cho có nghiệm âm lớn nhất bằng [tex]\(-\frac{\pi}{3}\)[/tex]:
Chúng ta xem xét các nghiệm:
- Nghiệm tổng quát là [tex]\(x = -\frac{\pi}{6} + k2\pi\)[/tex] hoặc [tex]\(x = \frac{7\pi}{6} + k2\pi \ (k \in \mathbb{Z})\)[/tex].
Nghiệm âm lớn nhất trong khoảng [tex]\((-\infty, 0)\)[/tex]:
- Với [tex]\(k = 0\)[/tex], nghiệm âm của [tex]\(x = -\frac{\pi}{6}\)[/tex].
Như vậy, nghiệm âm lớn nhất là [tex]\(x = -\frac{\pi}{6}\)[/tex], không phải [tex]\(-\frac{\pi}{3}\)[/tex].
=> Phát biểu c là sai.
Phát biểu d) Số nghiệm của phương trình trong khoảng [tex]\((- \pi, \pi)\)[/tex] là ba nghiệm:
Ta xác định các nghiệm trong khoảng [tex]\((- \pi,\pi)\)[/tex]:
- [tex]\(x = -\frac{5\pi}{6}\)[/tex] (vì -[tex]\(\frac{\pi}{6} + - 2\pi = -\frac{5\pi}{6}\)[/tex]).
- [tex]\(x = \frac{7\pi}{6}\)[/tex] lớn hơn [tex]\(\pi\)[/tex] nên không thuộc khoảng [tex]\((- \pi, \pi)\)[/tex].
- Ngoài ra, không có nghiệm nào khác thỏa mãn.
Chỉ có hai nghiệm là [tex]\(-\frac{5\pi}{6}\)[/tex] và [tex]\(\frac{7\pi}{6} - 2\pi = -\frac{5\pi}{6}\)[/tex], đều là các số âm trong khoảng [tex]\((- \pi,\pi)\)[/tex].
=> Phát biểu d là sai khi nói có 3 nghiệm trong khoảng [tex]\((- \pi, \pi)\)[/tex].
Tóm lại, các phát biểu đúng hay sai như sau:
- a) Sai
- b) Đúng
- c) Sai
- d) Sai
