Pour résoudre l'équation [tex]\((1 + i z)^5 = (1 - i z)^5\)[/tex] dans l'ensemble [tex]\(\mathbb{C}\)[/tex] des nombres complexes, suivez les étapes ci-dessous :
### Étape 1: Analyser l'équation
L'équation donnée est [tex]\((1 + i z)^5 = (1 - i z)^5\)[/tex]. Pour résoudre cette équation, nous devons trouver les valeurs de [tex]\(z\)[/tex] qui satisfont cette égalité.
### Étape 2: Introduction de la variable complexe
Définissons [tex]\( z \)[/tex] comme un nombre complexe représenté par [tex]\( z = x + iy \)[/tex], où [tex]\( x \)[/tex] et [tex]\( y \)[/tex] sont des nombres réels.
### Étape 3: Réécrire l'équation sous forme exponentielle
Utilisons la forme exponentielle des nombres complexes :
[tex]\[ 1 + i z = 1 + i (x + iy) = a e^{i \theta} \][/tex]
[tex]\[ 1 - i z = 1 - i (x + iy) = b e^{i \phi} \][/tex],
où [tex]\(a\)[/tex] et [tex]\(b\)[/tex] sont les modules des nombres complexes et [tex]\(\theta\)[/tex] et [tex]\(\phi\)[/tex] sont les arguments.
### Étape 4: Simplifier l'équation
Puisque [tex]\((1 + i z)^5 = (1 - i z)^5\)[/tex], nous devons avoir les modules égaux et les arguments qui diffèrent d'un multiple de [tex]\(2\pi\)[/tex] divisés par 5 :
[tex]\[ a e^{5i \theta} = b e^{5i \phi} \][/tex]
[tex]\[ 5i \theta = 5i \phi + 2k\pi i \][/tex]
[tex]\[ \theta = \phi + \frac{2k\pi}{5} \][/tex]
### Étape 5: Identifier les solutions possibles
Comparons maintenant les expressions complexes sur le plan complexe. Étant donné que les modules doivent être égaux, écrivons que :
[tex]\[ |1 + i z| = \sqrt{(1 - y)^2 + x^2} \][/tex]
[tex]\[ |1 - i z| = \sqrt{(1 + y)^2 + x^2} \][/tex]
En posant l'égalité des modules :
[tex]\[ \sqrt{(1 - y)^2 + x^2} = \sqrt{(1 + y)^2 + x^2} \][/tex]
Élevons les deux côtés au carré pour simplifier :
[tex]\[ (1 - y)^2 + x^2 = (1 + y)^2 + x^2 \][/tex]
En éliminant [tex]\(x^2\)[/tex] des deux côtés et simplifiant :
[tex]\[ 1 - 2y + y^2 = 1 + 2y + y^2 \][/tex]
[tex]\[ -2y = 2y \][/tex]
[tex]\[ y = 0 \][/tex]
### Étape 6: Résoudre pour [tex]\( z \)[/tex]
Avec [tex]\( y = 0 \)[/tex], [tex]\( z \)[/tex] est purement réel. Substituons [tex]\( y = 0 \)[/tex] dans l'équation originale :
[tex]\[ (1 + i z)^5 = (1 - i z)^5 \implies (1 + i x)^5 = (1 - i x)^5 \][/tex]
### Étape 7: Analyser les racines
On trouve les solutions en résolvant cette équation pour [tex]\( x \)[/tex].
Les solutions sont alors [tex]\( z = 0, \pm \sqrt{5 - 2\sqrt{5}}, \pm \sqrt{2\sqrt{5} + 5} \)[/tex].
### Conclusion
Les solutions de l'équation [tex]\((1 + i z)^5 = (1 - i z)^5\)[/tex] dans l'ensemble [tex]\(\mathbb{C}\)[/tex] des nombres complexes sont:
[tex]\[ z = 0, \pm \sqrt{5 - 2\sqrt{5}}, \pm \sqrt{2\sqrt{5} + 5} \][/tex]
