Claro, vamos a determinar el dominio de la función [tex]\( P(x) = \sqrt{\frac{x+2}{5-x}} + \sqrt[3]{x-1} \)[/tex] y luego sumar los valores enteros de dicho dominio.
### 1. Análisis de [tex]\(\sqrt{\frac{x+2}{5-x}}\)[/tex]
Para que [tex]\(\sqrt{\frac{x+2}{5-x}}\)[/tex] esté definida, la expresión dentro de la raíz cuadrada debe ser mayor o igual a cero:
[tex]\[ \frac{x+2}{5-x} \geq 0 \][/tex]
Analicemos el signo de [tex]\(\frac{x+2}{5-x}\)[/tex]:
- La expresión [tex]\(\frac{x+2}{5-x}\)[/tex] cambia de signo en [tex]\(x = -2\)[/tex] (donde [tex]\(x + 2 = 0\)[/tex]) y en [tex]\(x = 5\)[/tex] (donde [tex]\(5 - x = 0\)[/tex]).
- Construimos una línea numérica y determinamos los intervalos divididos por estos puntos críticos.
Dividimos la línea numérica en tres intervalos:
1. [tex]\(x < -2\)[/tex]
2. [tex]\(-2 \leq x < 5\)[/tex]
3. [tex]\(x > 5\)[/tex]
Probamos un valor en cada intervalo para ver el signo de [tex]\(\frac{x+2}{5-x}\)[/tex]:
- Para [tex]\(x < -2\)[/tex] (por ejemplo, [tex]\(x = -3\)[/tex]):
[tex]\(\frac{-3+2}{5-(-3)} = \frac{-1}{8} < 0\)[/tex]
- Para [tex]\(-2 \leq x < 5\)[/tex] (por ejemplo, [tex]\(x = 0\)[/tex]):
[tex]\(\frac{0+2}{5-0} = \frac{2}{5} > 0\)[/tex]
- Para [tex]\(x > 5\)[/tex] (por ejemplo, [tex]\(x = 6\)[/tex]):
[tex]\(\frac{6+2}{5-6} = \frac{8}{-1} < 0\)[/tex]
Por lo tanto, [tex]\(\frac{x+2}{5-x} \geq 0 \)[/tex] solo en el intervalo:
[tex]\[ -2 \leq x < 5 \][/tex]
### 2. Análisis de [tex]\(\sqrt[3]{x-1}\)[/tex]
La función [tex]\(\sqrt[3]{x-1}\)[/tex] es una raíz cúbica, y está definida para todos los números reales. Por lo tanto, no impone restricciones adicionales en el dominio.
### 3. Dominio total de [tex]\( P(x) \)[/tex]
El dominio de [tex]\( P(x) \)[/tex] está dado por la intersección de los dominios anteriores. El intervalo final es:
[tex]\[ -2 \leq x < 5 \][/tex]
### 4. Valores enteros en el dominio
Los valores enteros en el intervalo [tex]\([-2, 5)\)[/tex] son:
[tex]\[ -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4 \][/tex]
### 5. Suma de los valores enteros
Sumamos estos valores:
[tex]\[ -2 + (-1) + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 = 7 \][/tex]
### Respuesta
La suma de los valores enteros del dominio es:
[tex]\[ \boxed{7} \][/tex]
