La suma y la diferencia de las longitudes de las diagonales de un rombo son de 76 m y 20 m, respectivamente. Calcular el área del rombo.

A) [tex]$324 m^2$[/tex]
B) [tex]$576 m^2$[/tex]
C) [tex]$524 m^2$[/tex]
D) [tex]$672 m^2$[/tex]
E) [tex]$472 m^2$[/tex]



Answer :

Para resolver este problema, vamos a determinar las longitudes de las diagonales del rombo a partir de la suma y la diferencia proporcionadas, y luego calcular el área del rombo usando esas longitudes.

Primero, definamos las longitudes de las diagonales:
- Sea [tex]\( d_1 \)[/tex] la longitud de la primera diagonal.
- Sea [tex]\( d_2 \)[/tex] la longitud de la segunda diagonal.

Nos han dado la siguiente información:
1. La suma de las longitudes de las diagonales es 76 m:
[tex]\[ d_1 + d_2 = 76 \][/tex]
2. La diferencia de las longitudes de las diagonales es 20 m:
[tex]\[ d_1 - d_2 = 20 \][/tex]

Para encontrar las longitudes de [tex]\( d_1 \)[/tex] y [tex]\( d_2 \)[/tex], resolveremos este sistema de ecuaciones lineales.

Sumando las dos ecuaciones:
[tex]\[ (d_1 + d_2) + (d_1 - d_2) = 76 + 20 \][/tex]
[tex]\[ 2d_1 = 96 \][/tex]
[tex]\[ d_1 = \frac{96}{2} = 48 \][/tex]

Ahora, restando la segunda ecuación de la primera:
[tex]\[ (d_1 + d_2) - (d_1 - d_2) = 76 - 20 \][/tex]
[tex]\[ 2d_2 = 56 \][/tex]
[tex]\[ d_2 = \frac{56}{2} = 28 \][/tex]

Ya tenemos las longitudes de las diagonales:
- [tex]\( d_1 = 48 \)[/tex] m
- [tex]\( d_2 = 28 \)[/tex] m

Finalmente, el área [tex]\( A \)[/tex] de un rombo puede ser calculada usando la fórmula:
[tex]\[ A = \frac{1}{2} \cdot d_1 \cdot d_2 \][/tex]

Sustituyendo los valores calculados:
[tex]\[ A = \frac{1}{2} \cdot 48 \cdot 28 \][/tex]
[tex]\[ A = \frac{1}{2} \cdot 1344 \][/tex]
[tex]\[ A = 672 \, m^2 \][/tex]

Por lo tanto, el área del rombo es [tex]\( 672 \, m^2 \)[/tex], que corresponde a la opción D:

D) [tex]$672 m^2$[/tex]