Claro, con gusto te guiaré paso a paso en la resolución de este problema para calcular la puntuación media.
Primero, entendamos qué información nos da la tabla:
- [tex]\( Xi \)[/tex] es el punto medio ([tex]\(midpoint\)[/tex]) del intervalo.
- [tex]\( fi \)[/tex] es la frecuencia, es decir, el número de personas cuyos resultados caen en ese intervalo.
- [tex]\( X_{i} \cdot fi \)[/tex] es el producto del punto medio del intervalo por la frecuencia.
La tabla nos muestra los siguientes datos:
[tex]\[
\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
INTERVALO & Xi & fi & X_{i} \cdot fi \\
\hline
[10-20[ & 15 & 1 & 15 \\
\hline
[20-30[ & 25 & 8 & 200 \\
\hline
[30-40[ & 35 & 10 & 350 \\
\hline
[40-50[ & 45 & 9 & 405 \\
\hline
[50-60[ & 55 & 8 & 440 \\
\hline
[60-70[ & 65 & 4 & 260 \\
\hline
[70-80] & 75 & 2 & 150 \\
\hline
\multicolumn{3}{|c|}{\text{Total}} & 1820 \\
\hline
\end{array}
\][/tex]
Para calcular la puntuación media ([tex]\( \bar{X} \)[/tex]) de los 42 individuos, utilizamos la fórmula de la media ponderada:
[tex]\[
\bar{X} = \frac{\sum (X_{i} \cdot fi)}{\sum fi}
\][/tex]
Donde:
- [tex]\( \sum (X_{i} \cdot fi) \)[/tex] es la suma de todos los productos del punto medio por la frecuencia, que en este caso es 1820.
- [tex]\( \sum fi \)[/tex] es el total de la frecuencia, que en este caso es 42.
Reemplazamos estos valores en la fórmula:
[tex]\[
\bar{X} = \frac{1820}{42}
\][/tex]
Realizamos la división:
[tex]\[
\bar{X} \approx 43.333
\][/tex]
De este cálculo, la puntuación media que representa a las 42 personas es aproximadamente 43.33.
Por lo tanto, la opción correcta es:
a) 43.33
