Answer :
Claro, vamos a resolver este problema paso a paso.
### (a) Hallar la pendiente de la recta que contiene a [tex]\( A \)[/tex] y [tex]\( B \)[/tex].
Para hallar la pendiente [tex]\( m \)[/tex] de la recta que pasa por dos puntos [tex]\( A(x1, y1) \)[/tex] y [tex]\( B(x2, y2) \)[/tex], usamos la fórmula:
[tex]\[ m = \frac{y2 - y1}{x2 - x1} \][/tex]
Dado [tex]\( A(-7, 4) \)[/tex] y [tex]\( B(5, -12) \)[/tex]:
[tex]\[ x1 = -7, y1 = 4, x2 = 5, y2 = -12 \][/tex]
[tex]\[ m = \frac{-12 - 4}{5 - (-7)} = \frac{-16}{12} = -\frac{4}{3} \approx -1.3333333333333333 \][/tex]
Por tanto, la pendiente [tex]\( m \)[/tex] es aproximadamente [tex]\( -1.3333333333333333 \)[/tex].
### (b) Encontrar una ecuación de la recta que pasa por [tex]\( A \)[/tex] y [tex]\( B \)[/tex]. ¿Cuáles son las intersecciones?
La ecuación de la recta en forma pendiente-intersección es:
[tex]\[ y = mx + b \][/tex]
Ya tenemos la pendiente [tex]\( m = -1.3333333333333333 \)[/tex]. Ahora, usamos el punto [tex]\( A(-7, 4) \)[/tex] para hallar [tex]\( b \)[/tex]:
[tex]\[ 4 = -1.3333333333333333(-7) + b \][/tex]
[tex]\[ 4 = 9.333333333333332 + b \][/tex]
[tex]\[ b = 4 - 9.333333333333332 \][/tex]
[tex]\[ b \approx -5.333333333333332 \][/tex]
Entonces, la ecuación de la recta es:
[tex]\[ y = -1.3333333333333333x - 5.333333333333332 \][/tex]
Para encontrar la intersección con el eje [tex]\( x \)[/tex] (donde [tex]\( y = 0 \)[/tex]):
[tex]\[ 0 = -1.3333333333333333x - 5.333333333333332 \][/tex]
[tex]\[ x = \frac{-5.333333333333332}{-1.3333333333333333} \approx 3.999999999999999 \][/tex]
Para la intersección con el eje [tex]\( y \)[/tex] (donde [tex]\( x = 0 \)[/tex]):
[tex]\[ y = -5.333333333333332 \][/tex]
### (c) Hallar el punto medio del segmento [tex]\( AB \)[/tex].
El punto medio [tex]\( M \)[/tex] entre dos puntos [tex]\( A(x1, y1) \)[/tex] y [tex]\( B(x2, y2) \)[/tex] se encuentra usando:
[tex]\[ M = \left( \frac{x1 + x2}{2}, \frac{y1 + y2}{2} \right) \][/tex]
[tex]\[ M = \left( \frac{-7 + 5}{2}, \frac{4 + (-12)}{2} \right) \][/tex]
[tex]\[ M = \left( \frac{-2}{2}, \frac{-8}{2} \right) \][/tex]
[tex]\[ M = (-1, -4) \][/tex]
Entonces, el punto medio es [tex]\( (-1, -4) \)[/tex].
### (d) Hallar la longitud del segmento [tex]\( AB \)[/tex].
La longitud [tex]\( d \)[/tex] de un segmento entre dos puntos [tex]\( A(x1, y1) \)[/tex] y [tex]\( B(x2, y2) \)[/tex] se calcula usando la fórmula:
[tex]\[ d = \sqrt{(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2} \][/tex]
[tex]\[ d = \sqrt{(5 - (-7))^2 + (-12 - 4)^2} \][/tex]
[tex]\[ d = \sqrt{12^2 + (-16)^2} \][/tex]
[tex]\[ d = \sqrt{144 + 256} \][/tex]
[tex]\[ d = \sqrt{400} \][/tex]
[tex]\[ d = 20 \][/tex]
Entonces, la longitud del segmento [tex]\( AB \)[/tex] es [tex]\( 20 \)[/tex].
### (e) Encontrar una ecuación de la bisectriz perpendicular a [tex]\( AB \)[/tex].
La pendiente de la bisectriz perpendicular es:
[tex]\[ m_{\text{perp}} = -\frac{1}{m} \][/tex]
[tex]\[ m_{\text{perp}} = -\frac{1}{-1.3333333333333333} \approx 0.75 \][/tex]
Usamos el punto medio [tex]\( (-1, -4) \)[/tex] para encontrar la intersección [tex]\( b_{\text{perp}} \)[/tex]:
[tex]\[ -4 = 0.75(-1) + b_{\text{perp}} \][/tex]
[tex]\[ -4 = -0.75 + b_{\text{perp}} \][/tex]
[tex]\[ b_{\text{perp}} = -4 + 0.75 \][/tex]
[tex]\[ b_{\text{perp}} = -3.25 \][/tex]
Entonces, la ecuación de la bisectriz perpendicular es:
[tex]\[ y = 0.75x - 3.25 \][/tex]
### (f) Encontrar una ecuación de la circunferencia para el que [tex]\( AB \)[/tex] es un diámetro.
El centro de la circunferencia es el punto medio [tex]\( (-1, -4) \)[/tex] y el radio es la mitad de la longitud de [tex]\( AB \)[/tex]:
[tex]\[ \text{radio} = \frac{20}{2} = 10 \][/tex]
La ecuación de la circunferencia con centro [tex]\( (h, k) \)[/tex] y radio [tex]\( r \)[/tex] es:
[tex]\[ (x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2 \][/tex]
Sustituyendo [tex]\( h = -1 \)[/tex], [tex]\( k = -4 \)[/tex], y [tex]\( r = 10 \)[/tex]:
[tex]\[ (x + 1)^2 + (y + 4)^2 = 100 \][/tex]
Entonces, la ecuación de la circunferencia es:
[tex]\[ (x - -1)^2 + (y - -4)^2 = 100 \][/tex]
### (a) Hallar la pendiente de la recta que contiene a [tex]\( A \)[/tex] y [tex]\( B \)[/tex].
Para hallar la pendiente [tex]\( m \)[/tex] de la recta que pasa por dos puntos [tex]\( A(x1, y1) \)[/tex] y [tex]\( B(x2, y2) \)[/tex], usamos la fórmula:
[tex]\[ m = \frac{y2 - y1}{x2 - x1} \][/tex]
Dado [tex]\( A(-7, 4) \)[/tex] y [tex]\( B(5, -12) \)[/tex]:
[tex]\[ x1 = -7, y1 = 4, x2 = 5, y2 = -12 \][/tex]
[tex]\[ m = \frac{-12 - 4}{5 - (-7)} = \frac{-16}{12} = -\frac{4}{3} \approx -1.3333333333333333 \][/tex]
Por tanto, la pendiente [tex]\( m \)[/tex] es aproximadamente [tex]\( -1.3333333333333333 \)[/tex].
### (b) Encontrar una ecuación de la recta que pasa por [tex]\( A \)[/tex] y [tex]\( B \)[/tex]. ¿Cuáles son las intersecciones?
La ecuación de la recta en forma pendiente-intersección es:
[tex]\[ y = mx + b \][/tex]
Ya tenemos la pendiente [tex]\( m = -1.3333333333333333 \)[/tex]. Ahora, usamos el punto [tex]\( A(-7, 4) \)[/tex] para hallar [tex]\( b \)[/tex]:
[tex]\[ 4 = -1.3333333333333333(-7) + b \][/tex]
[tex]\[ 4 = 9.333333333333332 + b \][/tex]
[tex]\[ b = 4 - 9.333333333333332 \][/tex]
[tex]\[ b \approx -5.333333333333332 \][/tex]
Entonces, la ecuación de la recta es:
[tex]\[ y = -1.3333333333333333x - 5.333333333333332 \][/tex]
Para encontrar la intersección con el eje [tex]\( x \)[/tex] (donde [tex]\( y = 0 \)[/tex]):
[tex]\[ 0 = -1.3333333333333333x - 5.333333333333332 \][/tex]
[tex]\[ x = \frac{-5.333333333333332}{-1.3333333333333333} \approx 3.999999999999999 \][/tex]
Para la intersección con el eje [tex]\( y \)[/tex] (donde [tex]\( x = 0 \)[/tex]):
[tex]\[ y = -5.333333333333332 \][/tex]
### (c) Hallar el punto medio del segmento [tex]\( AB \)[/tex].
El punto medio [tex]\( M \)[/tex] entre dos puntos [tex]\( A(x1, y1) \)[/tex] y [tex]\( B(x2, y2) \)[/tex] se encuentra usando:
[tex]\[ M = \left( \frac{x1 + x2}{2}, \frac{y1 + y2}{2} \right) \][/tex]
[tex]\[ M = \left( \frac{-7 + 5}{2}, \frac{4 + (-12)}{2} \right) \][/tex]
[tex]\[ M = \left( \frac{-2}{2}, \frac{-8}{2} \right) \][/tex]
[tex]\[ M = (-1, -4) \][/tex]
Entonces, el punto medio es [tex]\( (-1, -4) \)[/tex].
### (d) Hallar la longitud del segmento [tex]\( AB \)[/tex].
La longitud [tex]\( d \)[/tex] de un segmento entre dos puntos [tex]\( A(x1, y1) \)[/tex] y [tex]\( B(x2, y2) \)[/tex] se calcula usando la fórmula:
[tex]\[ d = \sqrt{(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2} \][/tex]
[tex]\[ d = \sqrt{(5 - (-7))^2 + (-12 - 4)^2} \][/tex]
[tex]\[ d = \sqrt{12^2 + (-16)^2} \][/tex]
[tex]\[ d = \sqrt{144 + 256} \][/tex]
[tex]\[ d = \sqrt{400} \][/tex]
[tex]\[ d = 20 \][/tex]
Entonces, la longitud del segmento [tex]\( AB \)[/tex] es [tex]\( 20 \)[/tex].
### (e) Encontrar una ecuación de la bisectriz perpendicular a [tex]\( AB \)[/tex].
La pendiente de la bisectriz perpendicular es:
[tex]\[ m_{\text{perp}} = -\frac{1}{m} \][/tex]
[tex]\[ m_{\text{perp}} = -\frac{1}{-1.3333333333333333} \approx 0.75 \][/tex]
Usamos el punto medio [tex]\( (-1, -4) \)[/tex] para encontrar la intersección [tex]\( b_{\text{perp}} \)[/tex]:
[tex]\[ -4 = 0.75(-1) + b_{\text{perp}} \][/tex]
[tex]\[ -4 = -0.75 + b_{\text{perp}} \][/tex]
[tex]\[ b_{\text{perp}} = -4 + 0.75 \][/tex]
[tex]\[ b_{\text{perp}} = -3.25 \][/tex]
Entonces, la ecuación de la bisectriz perpendicular es:
[tex]\[ y = 0.75x - 3.25 \][/tex]
### (f) Encontrar una ecuación de la circunferencia para el que [tex]\( AB \)[/tex] es un diámetro.
El centro de la circunferencia es el punto medio [tex]\( (-1, -4) \)[/tex] y el radio es la mitad de la longitud de [tex]\( AB \)[/tex]:
[tex]\[ \text{radio} = \frac{20}{2} = 10 \][/tex]
La ecuación de la circunferencia con centro [tex]\( (h, k) \)[/tex] y radio [tex]\( r \)[/tex] es:
[tex]\[ (x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2 \][/tex]
Sustituyendo [tex]\( h = -1 \)[/tex], [tex]\( k = -4 \)[/tex], y [tex]\( r = 10 \)[/tex]:
[tex]\[ (x + 1)^2 + (y + 4)^2 = 100 \][/tex]
Entonces, la ecuación de la circunferencia es:
[tex]\[ (x - -1)^2 + (y - -4)^2 = 100 \][/tex]
