Answer :
Para resolver el problema planteado, vamos a seguir los siguientes pasos detalladamente:
### Paso 1: Completar la tabla con los datos dados
[tex]\[ \begin{tabular}{|c|c|c|c|} \hline Marca de clase & Intervalos de horas & Frecuencia absoluta & Frecuencia acumulada \\ \hline 2 & 1-3 & 12 & 12 \\ \hline 4 & 3-5 & 15 & 27 \\ \hline 6 & 5-7 & 10 & 37 \\ \hline 8 & 7-9 & 7 & 44 \\ \hline \end{tabular} \][/tex]
### Paso 2: Calcular la media ([tex]\(\bar{x}\)[/tex])
La fórmula de la media es:
[tex]\[ \bar{x} = \frac{\sum (x_i \cdot f_i)}{n} \][/tex]
Donde:
- [tex]\(x_i\)[/tex] es la marca de clase de cada intervalo.
- [tex]\(f_i\)[/tex] es la frecuencia absoluta de cada intervalo.
- [tex]\(n\)[/tex] es la suma total de las frecuencias absolutas.
Calculamos la suma de [tex]\(x_i \cdot f_i\)[/tex]:
[tex]\[ \sum (x_i \cdot f_i) = (2 \cdot 12) + (4 \cdot 15) + (6 \cdot 10) + (8 \cdot 7) = 24 + 60 + 60 + 56 = 200 \][/tex]
La suma total de las frecuencias absolutas ([tex]\(n\)[/tex]) es:
[tex]\[ n = 12 + 15 + 10 + 7 = 44 \][/tex]
Entonces, la media es:
[tex]\[ \bar{x} = \frac{200}{44} \approx 4.545 \][/tex]
### Paso 3: Calcular la mediana ([tex]\(M_e\)[/tex])
La fórmula de la mediana es:
[tex]\[ M_e = L_i + \left(\frac{\frac{n}{2} - F_{i-1}}{f_i}\right) \cdot A_i \][/tex]
Donde:
- [tex]\(L_i\)[/tex] es el límite inferior del intervalo que contiene la mediana.
- [tex]\(n\)[/tex] es la suma total de las frecuencias absolutas.
- [tex]\(F_{i-1}\)[/tex] es la frecuencia acumulada antes del intervalo que contiene la mediana.
- [tex]\(f_i\)[/tex] es la frecuencia absoluta del intervalo que contiene la mediana.
- [tex]\(A_i\)[/tex] es el ancho del intervalo.
Primero, determinamos el intervalo que contiene la mediana. La mitad de la suma total de las frecuencias absolutas es:
[tex]\[ \frac{n}{2} = \frac{44}{2} = 22 \][/tex]
Buscamos el primer intervalo cuya frecuencia acumulada sea mayor o igual a 22, que es el intervalo 3-5.
Para ese intervalo:
- [tex]\(L_i = 3\)[/tex]
- [tex]\(F_{i-1} = 12\)[/tex] (frecuencia acumulada antes de 3-5)
- [tex]\(f_i = 15\)[/tex]
- [tex]\(A_i = 2\)[/tex]
Sustituimos en la fórmula:
[tex]\[ M_e = 3 + \left(\frac{22 - 12}{15}\right) \cdot 2 \][/tex]
[tex]\[ M_e = 3 + \left(\frac{10}{15}\right) \cdot 2 \][/tex]
[tex]\[ M_e = 3 + 1.333 \approx 4.333 \][/tex]
### Paso 4: Calcular la moda ([tex]\(M_o\)[/tex])
La fórmula de la moda es:
[tex]\[ M_o = L_i + \left(\frac{f_i - f_{i-1}}{(f_i - f_{i-1}) + (f_i - f_{i+1})}\right) \cdot A_i \][/tex]
Donde:
- [tex]\(L_i\)[/tex] es el límite inferior del intervalo modal.
- [tex]\(f_i\)[/tex] es la frecuencia absoluta del intervalo modal.
- [tex]\(f_{i-1}\)[/tex] es la frecuencia absoluta del intervalo anterior al modal.
- [tex]\(f_{i+1}\)[/tex] es la frecuencia absoluta del intervalo siguiente al modal.
- [tex]\(A_i\)[/tex] es el ancho del intervalo.
El intervalo modal es aquel con la mayor frecuencia absoluta, que es 3-5. Para este intervalo:
- [tex]\(L_i = 3\)[/tex]
- [tex]\(f_i = 15\)[/tex]
- [tex]\(f_{i-1} = 12\)[/tex]
- [tex]\(f_{i+1} = 10\)[/tex]
- [tex]\(A_i = 2\)[/tex]
Sustituimos en la fórmula:
[tex]\[ M_o = 3 + \left(\frac{15 - 12}{(15 - 12) + (15 - 10)}\right) \cdot 2 \][/tex]
[tex]\[ M_o = 3 + \left(\frac{3}{3 + 5}\right) \cdot 2 \][/tex]
[tex]\[ M_o = 3 + \left(\frac{3}{8}\right) \cdot 2 \][/tex]
[tex]\[ M_o = 3 + 0.75 = 3.75 \][/tex]
### Interpretación de los resultados:
- Media ([tex]\(\bar{x}\)[/tex]): Aproximadamente 4.545 horas. Esto indica que, en promedio, los estudiantes del grado 10º estudian aproximadamente 4.545 horas por semana en preparación para las pruebas Icfes.
- Mediana ([tex]\(M_e\)[/tex]): Aproximadamente 4.333 horas. Esto significa que el 50% de los estudiantes estudian menos de 4.333 horas por semana y el otro 50% más de 4.333 horas.
- Moda ([tex]\(M_o\)[/tex]): 3.75 horas. Esto indica que el intervalo de horas más frecuente es de aproximadamente 1-3 horas por semana, ya que concentra la mayor cantidad de respuestas.
En conjunto, estos resultados muestran que, aunque hay una diversidad en el tiempo que los estudiantes dedican a estudiar, en promedio y la mayoría se centra en estudiar cerca de 4 horas por semana, con muchos estudiantes ubicados en el rango de 1-3 horas.
### Paso 1: Completar la tabla con los datos dados
[tex]\[ \begin{tabular}{|c|c|c|c|} \hline Marca de clase & Intervalos de horas & Frecuencia absoluta & Frecuencia acumulada \\ \hline 2 & 1-3 & 12 & 12 \\ \hline 4 & 3-5 & 15 & 27 \\ \hline 6 & 5-7 & 10 & 37 \\ \hline 8 & 7-9 & 7 & 44 \\ \hline \end{tabular} \][/tex]
### Paso 2: Calcular la media ([tex]\(\bar{x}\)[/tex])
La fórmula de la media es:
[tex]\[ \bar{x} = \frac{\sum (x_i \cdot f_i)}{n} \][/tex]
Donde:
- [tex]\(x_i\)[/tex] es la marca de clase de cada intervalo.
- [tex]\(f_i\)[/tex] es la frecuencia absoluta de cada intervalo.
- [tex]\(n\)[/tex] es la suma total de las frecuencias absolutas.
Calculamos la suma de [tex]\(x_i \cdot f_i\)[/tex]:
[tex]\[ \sum (x_i \cdot f_i) = (2 \cdot 12) + (4 \cdot 15) + (6 \cdot 10) + (8 \cdot 7) = 24 + 60 + 60 + 56 = 200 \][/tex]
La suma total de las frecuencias absolutas ([tex]\(n\)[/tex]) es:
[tex]\[ n = 12 + 15 + 10 + 7 = 44 \][/tex]
Entonces, la media es:
[tex]\[ \bar{x} = \frac{200}{44} \approx 4.545 \][/tex]
### Paso 3: Calcular la mediana ([tex]\(M_e\)[/tex])
La fórmula de la mediana es:
[tex]\[ M_e = L_i + \left(\frac{\frac{n}{2} - F_{i-1}}{f_i}\right) \cdot A_i \][/tex]
Donde:
- [tex]\(L_i\)[/tex] es el límite inferior del intervalo que contiene la mediana.
- [tex]\(n\)[/tex] es la suma total de las frecuencias absolutas.
- [tex]\(F_{i-1}\)[/tex] es la frecuencia acumulada antes del intervalo que contiene la mediana.
- [tex]\(f_i\)[/tex] es la frecuencia absoluta del intervalo que contiene la mediana.
- [tex]\(A_i\)[/tex] es el ancho del intervalo.
Primero, determinamos el intervalo que contiene la mediana. La mitad de la suma total de las frecuencias absolutas es:
[tex]\[ \frac{n}{2} = \frac{44}{2} = 22 \][/tex]
Buscamos el primer intervalo cuya frecuencia acumulada sea mayor o igual a 22, que es el intervalo 3-5.
Para ese intervalo:
- [tex]\(L_i = 3\)[/tex]
- [tex]\(F_{i-1} = 12\)[/tex] (frecuencia acumulada antes de 3-5)
- [tex]\(f_i = 15\)[/tex]
- [tex]\(A_i = 2\)[/tex]
Sustituimos en la fórmula:
[tex]\[ M_e = 3 + \left(\frac{22 - 12}{15}\right) \cdot 2 \][/tex]
[tex]\[ M_e = 3 + \left(\frac{10}{15}\right) \cdot 2 \][/tex]
[tex]\[ M_e = 3 + 1.333 \approx 4.333 \][/tex]
### Paso 4: Calcular la moda ([tex]\(M_o\)[/tex])
La fórmula de la moda es:
[tex]\[ M_o = L_i + \left(\frac{f_i - f_{i-1}}{(f_i - f_{i-1}) + (f_i - f_{i+1})}\right) \cdot A_i \][/tex]
Donde:
- [tex]\(L_i\)[/tex] es el límite inferior del intervalo modal.
- [tex]\(f_i\)[/tex] es la frecuencia absoluta del intervalo modal.
- [tex]\(f_{i-1}\)[/tex] es la frecuencia absoluta del intervalo anterior al modal.
- [tex]\(f_{i+1}\)[/tex] es la frecuencia absoluta del intervalo siguiente al modal.
- [tex]\(A_i\)[/tex] es el ancho del intervalo.
El intervalo modal es aquel con la mayor frecuencia absoluta, que es 3-5. Para este intervalo:
- [tex]\(L_i = 3\)[/tex]
- [tex]\(f_i = 15\)[/tex]
- [tex]\(f_{i-1} = 12\)[/tex]
- [tex]\(f_{i+1} = 10\)[/tex]
- [tex]\(A_i = 2\)[/tex]
Sustituimos en la fórmula:
[tex]\[ M_o = 3 + \left(\frac{15 - 12}{(15 - 12) + (15 - 10)}\right) \cdot 2 \][/tex]
[tex]\[ M_o = 3 + \left(\frac{3}{3 + 5}\right) \cdot 2 \][/tex]
[tex]\[ M_o = 3 + \left(\frac{3}{8}\right) \cdot 2 \][/tex]
[tex]\[ M_o = 3 + 0.75 = 3.75 \][/tex]
### Interpretación de los resultados:
- Media ([tex]\(\bar{x}\)[/tex]): Aproximadamente 4.545 horas. Esto indica que, en promedio, los estudiantes del grado 10º estudian aproximadamente 4.545 horas por semana en preparación para las pruebas Icfes.
- Mediana ([tex]\(M_e\)[/tex]): Aproximadamente 4.333 horas. Esto significa que el 50% de los estudiantes estudian menos de 4.333 horas por semana y el otro 50% más de 4.333 horas.
- Moda ([tex]\(M_o\)[/tex]): 3.75 horas. Esto indica que el intervalo de horas más frecuente es de aproximadamente 1-3 horas por semana, ya que concentra la mayor cantidad de respuestas.
En conjunto, estos resultados muestran que, aunque hay una diversidad en el tiempo que los estudiantes dedican a estudiar, en promedio y la mayoría se centra en estudiar cerca de 4 horas por semana, con muchos estudiantes ubicados en el rango de 1-3 horas.
