Answer :
Para resolver cada inciso y definir la región en el plano [tex]\(xy\)[/tex] dada por cada ecuación o desigualdad, vamos a analizar cada una de las condiciones por separado. Dibuja cada región siguiendo los pasos descritos.
### (a) [tex]\( -1 \leq y \leq 3 \)[/tex]
Esta desigualdad indica que [tex]\(y\)[/tex] está entre [tex]\(-1\)[/tex] y [tex]\(3\)[/tex].
- Traza dos líneas horizontales en [tex]\(y = -1\)[/tex] y [tex]\(y = 3\)[/tex].
- Sombrea la región entre estas dos líneas, incluyendo las propias líneas, ya que la desigualdad es inclusiva.
### (b) [tex]\( |x| < 4 \)[/tex] y [tex]\( |y| < 2 \)[/tex]
Estas desigualdades representan un rectángulo centrado en el origen.
- Para [tex]\( |x| < 4 \)[/tex], los valores de [tex]\(x\)[/tex] van desde [tex]\( -4 \)[/tex] hasta [tex]\( 4 \)[/tex].
- Para [tex]\( |y| < 2 \)[/tex], los valores de [tex]\(y\)[/tex] van desde [tex]\( -2 \)[/tex] hasta [tex]\( 2 \)[/tex].
- Dibuja un rectángulo con vértices en [tex]\( (-4,2) \)[/tex], [tex]\( (4,2) \)[/tex], [tex]\( (4,-2) \)[/tex], y [tex]\( (-4,-2) \)[/tex].
- Sombrea el interior del rectángulo sin incluir los bordes, ya que las desigualdades son estrictas.
### (c) [tex]\( y < 1 - \frac{1}{2} x \)[/tex]
Esta es una desigualdad lineal.
- La ecuación de la línea es [tex]\( y = 1 - \frac{1}{2} x \)[/tex].
- Dibuja la línea recta que pasa por los puntos [tex]\((0, 1)\)[/tex] y [tex]\((2, 0)\)[/tex].
- Sombrea la región por debajo de esta línea, ya que la desigualdad es estricta ([tex]\(<\)[/tex]).
### (d) [tex]\( y \geq x^2 - 1 \)[/tex]
Esta es una parábola.
- Traza la parábola [tex]\( y = x^2 - 1 \)[/tex]. Los puntos clave serían [tex]\((-1, 0)\)[/tex], [tex]\((0, -1)\)[/tex] y [tex]\((1, 0)\)[/tex].
- La región a sombrear es la que está por encima de la parábola, incluyendo la propia parábola, ya que la desigualdad es inclusiva ([tex]\(\geq\)[/tex]).
### (e) [tex]\( x^2 + y^2 < 4 \)[/tex]
Esta es una circunferencia con radio 2 (porque [tex]\(\sqrt{4} = 2\)[/tex]) centrada en el origen.
- Dibuja la circunferencia con radio 2 centrada en el origen [tex]\((0,0)\)[/tex].
- Sombrea el interior de la circunferencia sin incluir el borde, ya que la desigualdad es estricta ([tex]\(<\)[/tex]).
### (f) [tex]\( 9x^2 + 16y^2 = 144 \)[/tex]
Esta es una elipse.
- Simplifica la ecuación dividiéndola por 144:
[tex]\[ \frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{9} = 1 \][/tex]
- Esta es una elipse con semiejes mayor y menor de longitud 4 y 3, respectivamente.
- Dibuja la elipse centrada en el origen con ejes a lo largo del eje [tex]\(x\)[/tex] y el eje [tex]\(y\)[/tex].
### Para graficar todas las regiones:
1. (a) Dibuja las líneas horizontales [tex]\(y = -1\)[/tex] y [tex]\(y = 3\)[/tex] y sombrea entre ellas.
2. (b) Dibuja el rectángulo con vértices en [tex]\((-4, -2)\)[/tex], [tex]\((-4, 2)\)[/tex], [tex]\( (4, -2) \)[/tex] y [tex]\((4, 2)\)[/tex], sombreando el interior sin los bordes.
3. (c) Dibuja la línea [tex]\(y = 1 - \frac{1}{2} x\)[/tex] y sombrea por debajo de esta línea.
4. (d) Dibuja la parábola [tex]\( y = x^2 - 1 \)[/tex] y sombrea por encima de ella.
5. (e) Dibuja la circunferencia con radio 2 centrada en el origen y sombrea su interior.
6. (f) Dibuja la elipse centrada en el origen con su eje mayor de longitud 8 a lo largo del eje [tex]\(x\)[/tex] y su eje menor de longitud 6 a lo largo del eje [tex]\(y\)[/tex].
Asegúrate de usar diferentes marcas de sombreado para cada región en un gráfico compuesto para que todas las regiones sean claramente identificables y diferenciadas.
### (a) [tex]\( -1 \leq y \leq 3 \)[/tex]
Esta desigualdad indica que [tex]\(y\)[/tex] está entre [tex]\(-1\)[/tex] y [tex]\(3\)[/tex].
- Traza dos líneas horizontales en [tex]\(y = -1\)[/tex] y [tex]\(y = 3\)[/tex].
- Sombrea la región entre estas dos líneas, incluyendo las propias líneas, ya que la desigualdad es inclusiva.
### (b) [tex]\( |x| < 4 \)[/tex] y [tex]\( |y| < 2 \)[/tex]
Estas desigualdades representan un rectángulo centrado en el origen.
- Para [tex]\( |x| < 4 \)[/tex], los valores de [tex]\(x\)[/tex] van desde [tex]\( -4 \)[/tex] hasta [tex]\( 4 \)[/tex].
- Para [tex]\( |y| < 2 \)[/tex], los valores de [tex]\(y\)[/tex] van desde [tex]\( -2 \)[/tex] hasta [tex]\( 2 \)[/tex].
- Dibuja un rectángulo con vértices en [tex]\( (-4,2) \)[/tex], [tex]\( (4,2) \)[/tex], [tex]\( (4,-2) \)[/tex], y [tex]\( (-4,-2) \)[/tex].
- Sombrea el interior del rectángulo sin incluir los bordes, ya que las desigualdades son estrictas.
### (c) [tex]\( y < 1 - \frac{1}{2} x \)[/tex]
Esta es una desigualdad lineal.
- La ecuación de la línea es [tex]\( y = 1 - \frac{1}{2} x \)[/tex].
- Dibuja la línea recta que pasa por los puntos [tex]\((0, 1)\)[/tex] y [tex]\((2, 0)\)[/tex].
- Sombrea la región por debajo de esta línea, ya que la desigualdad es estricta ([tex]\(<\)[/tex]).
### (d) [tex]\( y \geq x^2 - 1 \)[/tex]
Esta es una parábola.
- Traza la parábola [tex]\( y = x^2 - 1 \)[/tex]. Los puntos clave serían [tex]\((-1, 0)\)[/tex], [tex]\((0, -1)\)[/tex] y [tex]\((1, 0)\)[/tex].
- La región a sombrear es la que está por encima de la parábola, incluyendo la propia parábola, ya que la desigualdad es inclusiva ([tex]\(\geq\)[/tex]).
### (e) [tex]\( x^2 + y^2 < 4 \)[/tex]
Esta es una circunferencia con radio 2 (porque [tex]\(\sqrt{4} = 2\)[/tex]) centrada en el origen.
- Dibuja la circunferencia con radio 2 centrada en el origen [tex]\((0,0)\)[/tex].
- Sombrea el interior de la circunferencia sin incluir el borde, ya que la desigualdad es estricta ([tex]\(<\)[/tex]).
### (f) [tex]\( 9x^2 + 16y^2 = 144 \)[/tex]
Esta es una elipse.
- Simplifica la ecuación dividiéndola por 144:
[tex]\[ \frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{9} = 1 \][/tex]
- Esta es una elipse con semiejes mayor y menor de longitud 4 y 3, respectivamente.
- Dibuja la elipse centrada en el origen con ejes a lo largo del eje [tex]\(x\)[/tex] y el eje [tex]\(y\)[/tex].
### Para graficar todas las regiones:
1. (a) Dibuja las líneas horizontales [tex]\(y = -1\)[/tex] y [tex]\(y = 3\)[/tex] y sombrea entre ellas.
2. (b) Dibuja el rectángulo con vértices en [tex]\((-4, -2)\)[/tex], [tex]\((-4, 2)\)[/tex], [tex]\( (4, -2) \)[/tex] y [tex]\((4, 2)\)[/tex], sombreando el interior sin los bordes.
3. (c) Dibuja la línea [tex]\(y = 1 - \frac{1}{2} x\)[/tex] y sombrea por debajo de esta línea.
4. (d) Dibuja la parábola [tex]\( y = x^2 - 1 \)[/tex] y sombrea por encima de ella.
5. (e) Dibuja la circunferencia con radio 2 centrada en el origen y sombrea su interior.
6. (f) Dibuja la elipse centrada en el origen con su eje mayor de longitud 8 a lo largo del eje [tex]\(x\)[/tex] y su eje menor de longitud 6 a lo largo del eje [tex]\(y\)[/tex].
Asegúrate de usar diferentes marcas de sombreado para cada región en un gráfico compuesto para que todas las regiones sean claramente identificables y diferenciadas.
