Para resolver la ecuación [tex]\(\cos^2 \alpha = 2\)[/tex], sigamos los siguientes pasos:
1. Comprender la ecuación: La ecuación dada es [tex]\(\cos^2 \alpha = 2\)[/tex]. Esto implica que el cuadrado del coseno de un ángulo [tex]\(\alpha\)[/tex] es igual a 2.
2. Interpretar la ecuación:
- Notemos que el rango del [tex]\(\cos\)[/tex] se encuentra entre -1 y 1 inclusive, es decir, [tex]\(-1 \leq \cos(\alpha) \leq 1\)[/tex].
- Elevar al cuadrado cualquier número en ese rango (inclusive 1 y -1) nos dará un valor que se encuentra en el rango de 0 a 1 inclusive.
- En base a lo anterior, notamos que 2 no está en este rango.
3. Solucionando la ecuación:
- La ecuación [tex]\(\cos^2 \alpha = 2\)[/tex] no tiene solución en los números reales, porque ningún número real [tex]\(\cos \alpha\)[/tex], cuando se eleva al cuadrado, dará como resultado 2.
Sin embargo, si consideramos que se puede trabajar en un dominio complejo más amplio, entonces se pueden obtener ciertas soluciones complejas. En el campo complejo, el arco coseno puede alcanzar números complejos que no se encuentran en el dominio real, y podemos encontrar soluciones complejas para [tex]\(\cos(\alpha) = i \sqrt{2}\)[/tex] y [tex]\(\cos(\alpha) = -i \sqrt{2}\)[/tex].
4. Soluciones complejas:
- Para encontrar soluciones en el dominio complejo, podríamos usar una función arcocoseno complejo que progresa las soluciones de coseno complejo.
- Las soluciones para [tex]\(\alpha\)[/tex] en el plano complejo resultan ser:
[tex]\[
\alpha = 2\pi - \cos^{-1}(-\sqrt{2}), \\
\alpha = 2\pi - \cos^{-1}(\sqrt{2}), \\
\alpha = \cos^{-1}(-\sqrt{2}), \\
\alpha = \cos^{-1}(\sqrt{2}).
\][/tex]
Esto concluye nuestra solución a la ecuación dada [tex]\(\cos^2 \alpha = 2\)[/tex].
