Vamos a resolver paso a paso el problema de encontrar la relación entre las variables [tex]\( x \)[/tex] y [tex]\( y \)[/tex] en el contexto del llenado de un tanque de agua.
### Planteamiento del problema:
Tenemos un grifo que llena un tanque de agua, y la altura del nivel del agua aumenta 2 cm cada minuto. La tabla que relaciona [tex]\( x \)[/tex] (el tiempo en minutos desde que se abrió el grifo) con [tex]\( y \)[/tex] (la altura en cm del nivel del agua) es la siguiente:
[tex]\[
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
$x$ & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \\
\hline
$y$ & 0 & 2 & 4 & 6 & 8 & 10 & 12 & 14 & 16 \\
\hline
\end{tabular}
\][/tex]
### Paso 1: Identificación de la función lineal:
Queremos expresar la altura [tex]\( y \)[/tex] como una función del tiempo [tex]\( x \)[/tex]. Observamos que a medida que pasan los minutos, la altura aumenta de manera constante. Este es un indicativo de una relación lineal.
### Paso 2: Determinación del coeficiente de pendiente:
La variación en la altura del nivel del agua es de 2 cm por cada minuto. Esto implica que la función lineal tendrá una pendiente de 2. Matemáticamente, esto se expresa como:
[tex]\[
y = mx + b
\][/tex]
donde [tex]\( m \)[/tex] es la pendiente y [tex]\( b \)[/tex] es la altura inicial cuando [tex]\( x = 0 \)[/tex].
Dado que el nivel del agua comienza a cero (en el minuto 0, la altura [tex]\( y \)[/tex] es 0):
[tex]\[
y = 2x
\][/tex]
### Paso 3: Verificación:
Verificamos que esta fórmula es consistente con los datos de la tabla:
Para [tex]\( x = 0 \)[/tex]:
[tex]\[
y = 2(0) = 0
\][/tex]
Para [tex]\( x = 1 \)[/tex]:
[tex]\[
y = 2(1) = 2
\][/tex]
Para [tex]\( x = 2 \)[/tex]:
[tex]\[
y = 2(2) = 4
\][/tex]
Para [tex]\( x = 3 \)[/tex]:
[tex]\[
y = 2(3) = 6
\][/tex]
Continuando así, vemos que todos los valores de [tex]\( y \)[/tex] en la tabla concuerdan con la función [tex]\( y = 2x \)[/tex].
### Resultado final:
La altura del nivel del agua [tex]\( y \)[/tex] en función del tiempo [tex]\( x \)[/tex] es:
[tex]\[
y = 2x
\][/tex]
De esta manera, hemos expresado [tex]\( y \)[/tex] como una función de [tex]\( x \)[/tex] basada en la información proporcionada.
