Claro, vamos a resolver la ecuación cuadrática [tex]\( -2x^2 = 7x - 15 \)[/tex] paso a paso.
Primero, trasladamos todos los términos al mismo lado de la ecuación para obtener la forma estándar de una ecuación cuadrática [tex]\( ax^2 + bx + c = 0 \)[/tex]:
[tex]\[
-2x^2 - 7x + 15 = 0
\][/tex]
Aquí, los coeficientes son:
- [tex]\( a = -2 \)[/tex]
- [tex]\( b = -7 \)[/tex]
- [tex]\( c = 15 \)[/tex]
Para resolver esta ecuación cuadrática, utilizamos la fórmula general que se aplica a ecuaciones de la forma [tex]\( ax^2 + bx + c = 0 \)[/tex]:
[tex]\[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
\][/tex]
El primer paso consiste en calcular el discriminante, que es la parte bajo la raíz cuadrada en la fórmula:
[tex]\[
\Delta = b^2 - 4ac
\][/tex]
Sustituyendo los valores de [tex]\( a \)[/tex], [tex]\( b \)[/tex] y [tex]\( c \)[/tex]:
[tex]\[
\Delta = (-7)^2 - 4(-2)(15)
\][/tex]
Esto da como resultado:
[tex]\[
\Delta = 49 + 120 = 169
\][/tex]
Dado que el discriminante es positivo, hay dos soluciones reales. Vamos a calcularlas:
[tex]\[
x_1 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} \quad \text{y} \quad x_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}
\][/tex]
Sustituyendo los valores correspondientes:
[tex]\[
x_1 = \frac{-(-7) - \sqrt{169}}{2(-2)} = \frac{7 - 13}{-4} = \frac{-6}{-4} = 1.5
\][/tex]
[tex]\[
x_2 = \frac{-(-7) + \sqrt{169}}{2(-2)} = \frac{7 + 13}{-4} = \frac{20}{-4} = -5.0
\][/tex]
Por lo tanto, las soluciones de la ecuación [tex]\( -2x^2 = 7x - 15 \)[/tex] son:
[tex]\[
x_1 = -5.0 \quad (\text{la solución menor})
\][/tex]
[tex]\[
x_2 = 1.5 \quad (\text{la solución mayor})
\][/tex]
En resumen:
- [tex]\( x_1 = -5.0 \)[/tex]
- [tex]\( x_2 = 1.5 \)[/tex]
