Para resolver la ecuación cuadrática [tex]\(5x^2 + 2x - 7 = 0\)[/tex] y hallar las dos raíces, utilizamos la fórmula cuadrática:
[tex]\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \][/tex]
Los coeficientes son:
- [tex]\(a = 5\)[/tex]
- [tex]\(b = 2\)[/tex]
- [tex]\(c = -7\)[/tex]
El primer paso es calcular el discriminante, cuya fórmula es:
[tex]\[ \Delta = b^2 - 4ac \][/tex]
Sustituyendo los valores:
[tex]\[ \Delta = 2^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-7) \][/tex]
[tex]\[ \Delta = 4 + 140 \][/tex]
[tex]\[ \Delta = 144 \][/tex]
Esto nos indica que el discriminante es 144.
Ahora, utilizamos el discriminante para hallar las raíces de la ecuación mediante la fórmula cuadrática:
[tex]\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} \][/tex]
Sustituyendo los valores:
[tex]\[ x = \frac{-2 \pm \sqrt{144}}{2 \cdot 5} \][/tex]
Como la raíz cuadrada de 144 es 12, tenemos:
[tex]\[ x = \frac{-2 \pm 12}{10} \][/tex]
Esto nos da dos posibles soluciones:
1. Cuando utilizamos la suma ([tex]\( + \)[/tex]):
[tex]\[ x_1 = \frac{-2 + 12}{10} \][/tex]
[tex]\[ x_1 = \frac{10}{10} \][/tex]
[tex]\[ x_1 = 1 \][/tex]
2. Cuando utilizamos la resta ([tex]\( - \)[/tex]):
[tex]\[ x_2 = \frac{-2 - 12}{10} \][/tex]
[tex]\[ x_2 = \frac{-14}{10} \][/tex]
[tex]\[ x_2 = -1.4 \][/tex]
Por lo tanto, las dos raíces de la ecuación cuadrática [tex]\(5x^2 + 2x - 7 = 0\)[/tex] son:
[tex]\[ x_1 = 1 \][/tex]
[tex]\[ x_2 = -1.4 \][/tex]
