हामीसँग 4, 6, 8, 10, 12 अनुक्रम दिइएको छ। अब, हामी प्रश्नहरूको उत्तरहरू निकालौं।
1) यो अनुक्रम कुन प्रकारको हो?
यो एउटा अंकिक अनुक्रम (Arithmetic Sequence) हो, किनभने हरेक सम्बद्ध पदहरू बीचको अन्तर (common difference) एकरुप छ। यहाँ, प्रत्येक पदको अन्तर 2 छ।
ii) सो अनुक्रमको आठौँ पद पत्ता लगाउनुहोस्।
एउटा अंकिक अनुक्रममा [tex]\( n \)[/tex]-औं पद [tex]\[ a_n = a + (n-1)d \][/tex] सूत्र बाट निकाल्न सकिन्छ, जहाँ [tex]\( a \)[/tex] पहिलो पद र [tex]\( d \)[/tex] सामान्तर अन्तर हो।
- यहाँ [tex]\( a = 4 \)[/tex], र [tex]\( d = 2 \)[/tex] छ।
- आठौँ पदको लागि [tex]\( n = 8 \)[/tex] राख्दा,
[tex]\[ a_8 = 4 + (8-1) \cdot 2 \][/tex]
[tex]\[ a_8 = 4 + 7 \cdot 2 \][/tex]
[tex]\[ a_8 = 4 + 14 = 18 \][/tex]
तसर्थ, अनुक्रमको आठौँ पद 18 हो।
iii) सो अनुक्रमको पहिला 25 ओटा पदहरूको योगफल पत्ता लगाउनुहोस्।
एउटा अंकिक अनुक्रमको योगफल [tex]\[ S_n = \frac{n}{2} \cdot (2a + (n-1)d) \][/tex] बाट निकाल्न सकिन्छ।
- यहाँ [tex]\( n = 25 \)[/tex], [tex]\( a = 4 \)[/tex], र [tex]\( d = 2 \)[/tex] छ।
[tex]\[ S_{25} = \frac{25}{2} \cdot (2 \cdot 4 + (25-1) \cdot 2) \][/tex]
[tex]\[ S_{25} = \frac{25}{2} \cdot (8 + 48) \][/tex]
[tex]\[ S_{25} = \frac{25}{2} \cdot 56 \][/tex]
[tex]\[ S_{25} = 25 \cdot 28 \][/tex]
[tex]\[ S_{25} = 700 \][/tex]
तसर्थ, पहिला 25 ओटा पदहरूको योगफल 700 हो।
iv) कति ओटा पदहरूको योगफल 229 औं पदको मानसँग बराबर हुन्छ?
229 औं पदको मान [tex]\[ a_{229} = a + 228d \][/tex] बाट निकालिन्छ।
- यहाँ [tex]\( a = 4 \)[/tex] र [tex]\( d = 2 \)[/tex] छ।
[tex]\[ a_{229} = 4 + 228 \cdot 2 \][/tex]
[tex]\[ a_{229} = 4 + 456 \][/tex]
[tex]\[ a_{229} = 460 \][/tex]
जसको योगफल [tex]\( 460 \)[/tex] हुनुपर्छ:
जब यो अंकिक अनुक्रमको योगफल निकालिन्छ, यो [tex]\[ S_n = nd \][/tex] बाट गरिन्छ, जहाँ [tex]\( n \)[/tex] आवश्यक पदहरूको संख्या हो।
[tex]\[ 4 + 460 = 462\][/tex]
[tex]\[ \Rightarrow n = 230 \][/tex]
तसर्थ, 229 औं पदको मान बराबर हुने पदहरूको संख्या 230 हो।
v) हरेक बिजोर स्थानमा रहेका सङ्ख्याहरूबाट अर्को अनुक्रम बनाउँदा कति औं पदको मान 84 हुन्छ?
अब, हामीले बिजोर स्थानमा रहेका सिद्धान्त अुक्रबबाट एउटा नयाँ अनुक्रम बनाउँछौं। यो नयाँ अनुक्रम 4, 8, 12,... हुनेछ।
यो नयाँ अनुक्रम पनि एक अंकिक अनुक्रम हो जसको पहिलो पद [tex]\( a' = 4 \)[/tex] र सामान्तर अन्तर [tex]\( d' = 4 \)[/tex] छ।
- [tex]\( a' = 4 \)[/tex] र [tex]\( d' = 4 \)[/tex] को नयाँ अनुक्रममा [tex]\( n \)[/tex]-औं पद [tex]\( a'_n \)[/tex] को मान 84 बनाउनका लागि,
[tex]\[ a'_n = a' + (n-1)d' \][/tex]
[tex]\[ 84 = 4 + (n-1) \cdot 4 \][/tex]
[tex]\[ 84 - 4 = (n-1) \cdot 4 \][/tex]
[tex]\[ 80 = 4(n-1) \][/tex]
[tex]\[ n-1 = 20 \][/tex]
[tex]\[ n = 21 \][/tex]
तसर्थ, नयाँ अनुक्रमको 21 औं पदको मान 84 हुन्छ।
