Să rezolvăm fiecare ecuație pas cu pas.
### Ecuația a: [tex]\(x + 2x + 3x + \ldots + 20x = 420\)[/tex]
1. Adunăm termenii pe partea stângă:
[tex]\[ x + 2x + 3x + \ldots + 20x = x(1 + 2 + 3 + \ldots + 20) \][/tex]
2. Suma primelor 20 de numere naturale se calculează folosind formula:
[tex]\[ \sum_{i=1}^{20} i = \frac{20(20 + 1)}{2} = \frac{20 \cdot 21}{2} = 210 \][/tex]
3. Astfel, ecuația devine:
[tex]\[ 210x = 420 \][/tex]
4. Rezolvând pentru [tex]\(x\)[/tex], obținem:
[tex]\[ x = \frac{420}{210} = 2.0 \][/tex]
### Ecuația b: [tex]\((x-1)+(x-2)+(x-3)+\ldots+(x-20)=0\)[/tex]
1. Adunăm termenii pe partea stângă:
[tex]\[ (x-1) + (x-2) + (x-3) + \ldots + (x-20) = 20x - (1 + 2 + 3 + \ldots + 20) \][/tex]
2. Din nou, suma primelor 20 de numere naturale este 210:
[tex]\[ 20x - 210 = 0 \][/tex]
3. Rezolvând pentru [tex]\(x\)[/tex], obținem:
[tex]\[ 20x = 210 \][/tex]
[tex]\[ x = \frac{210}{20} = 10.5 \][/tex]
### Ecuația c: [tex]\(x - 2x + 3x - 4x + \ldots + 99x - 100x = 500\)[/tex]
1. Observăm că termenii alternează în semn (plus și minus). Putem grupa termenii în perechi:
2. Fiecare pereche formează o secvență de tipul: [tex]\( (2k-1)x - 2kx \)[/tex] pentru [tex]\( k = 1 \)[/tex] la 50.
3. Adunând aceste perechi:
[tex]\[ \sum_{i=1}^{100} (-1)^{i+1}ix = -50x \][/tex]
4. Ecuația devine:
[tex]\[ -50x = 500 \][/tex]
5. Rezolvând pentru [tex]\(x\)[/tex], obținem:
[tex]\[ x = \frac{500}{-50} = -10.0 \][/tex]
### Ecuația d: [tex]\( \frac{x}{1 \cdot 2} + \frac{x}{2 \cdot 3} + \frac{x}{3 \cdot 4} + \ldots + \frac{x}{199 \cdot 200} = 398 \)[/tex]
1. Să analizăm seria de termeni:
[tex]\[ \frac{x}{n(n+1)} \][/tex]
2. Fiecare termen poate fi scris mai simplu:
[tex]\[ \frac{x}{n(n+1)} = \frac{x}{n} - \frac{x}{n+1} \][/tex]
3. Suma seriei de la [tex]\( n=1 \)[/tex] la [tex]\( n=199 \)[/tex] formează un lanț telescopic:
[tex]\[ \left(\frac{x}{1} - \frac{x}{2}\right) + \left(\frac{x}{2} - \frac{x}{3}\right) + \ldots + \left(\frac{x}{199} - \frac{x}{200}\right) = x\left(1 - \frac{1}{200}\right) = x\left(\frac{199}{200}\right) \][/tex]
4. Astfel, ecuația devine:
[tex]\[ x \cdot \frac{199}{200} = 398 \][/tex]
5. Rezolvând pentru [tex]\(x\)[/tex], obținem:
[tex]\[ x = \frac{398 \cdot 200}{199} = 400.0 \][/tex]
Prin urmare, soluțiile ecuațiilor sunt:
- [tex]\(x = 2.0\)[/tex]
- [tex]\(x = 10.5\)[/tex]
- [tex]\(x = -10.0\)[/tex]
- [tex]\(x = 400.0\)[/tex]
