Answer :
Por supuesto, vamos a resolver las desigualdades cuadráticas paso a paso.
### Desigualdad 1: [tex]\( x^2 + 2x - 3 > 0 \)[/tex]
1. Factorización:
La expresión [tex]\( x^2 + 2x - 3 \)[/tex] se puede factorizar como [tex]\( (x + 3)(x - 1) \)[/tex].
2. Puntos Críticos:
Los puntos críticos ocurren cuando [tex]\( (x + 3) = 0 \)[/tex] o [tex]\( (x - 1) = 0 \)[/tex].
[tex]\[ x = -3 \quad \text{y} \quad x = 1 \][/tex]
3. Análisis de Intervalos:
Estos puntos críticos dividen la recta numérica en los intervalos [tex]\((- \infty, -3)\)[/tex], [tex]\((-3, 1)\)[/tex] y [tex]\((1, \infty)\)[/tex].
4. Signo de los Intervalos:
- Para [tex]\( x \in (- \infty, -3) \)[/tex], considere [tex]\( x = -4 \)[/tex]:
[tex]\[ (-4 + 3)(-4 - 1) = (-1)(-5) = 5 > 0 \][/tex]
- Para [tex]\( x \in (-3, 1) \)[/tex], considere [tex]\( x = 0 \)[/tex]:
[tex]\[ (0 + 3)(0 - 1) = 3(-1) = -3 < 0 \][/tex]
- Para [tex]\( x \in (1, \infty) \)[/tex], considere [tex]\( x = 2 \)[/tex]:
[tex]\[ (2 + 3)(2 - 1) = 5(1) = 5 > 0 \][/tex]
Por lo tanto, la desigualdad [tex]\( x^2 + 2x - 3 > 0 \)[/tex] es verdadera en los intervalos [tex]\( (-\infty, -3) \cup (1, \infty) \)[/tex].
### Desigualdad 2: [tex]\( 3x^2 > 2x^2 + 5x + 6 \)[/tex]
1. Simplificación:
Resolvemos primero la ecuación:
[tex]\[ 3x^2 > 2x^2 + 5x + 6 \][/tex]
[tex]\[ x^2 - 5x - 6 > 0 \][/tex]
2. Factorización:
La expresión [tex]\( x^2 - 5x - 6 \)[/tex] se puede factorizar como [tex]\( (x - 6)(x + 1) \)[/tex].
3. Puntos Críticos:
Los puntos críticos ocurren cuando [tex]\( (x - 6) = 0 \)[/tex] o [tex]\( (x + 1) = 0 \)[/tex].
[tex]\[ x = -1 \quad \text{y} \quad x = 6 \][/tex]
4. Análisis de Intervalos:
Estos puntos críticos dividen la recta numérica en los intervalos [tex]\((- \infty, -1)\)[/tex], [tex]\((-1, 6)\)[/tex] y [tex]\((6, \infty)\)[/tex].
5. Signo de los Intervalos:
- Para [tex]\( x \in (- \infty, -1) \)[/tex], considere [tex]\( x = -2 \)[/tex]:
[tex]\[ (-2 - 6)(-2 + 1) = (-8)(-1) = 8 > 0 \][/tex]
- Para [tex]\( x \in (-1, 6) \)[/tex], considere [tex]\( x = 0 \)[/tex]:
[tex]\[ (0 - 6)(0 + 1) = (-6)(1) = -6 < 0 \][/tex]
- Para [tex]\( x \in (6, \infty) \)[/tex], considere [tex]\( x = 7 \)[/tex]:
[tex]\[ (7 - 6)(7 + 1) = 1(8) = 8 > 0 \][/tex]
Por lo tanto, la desigualdad [tex]\( x^2 - 5x - 6 > 0 \)[/tex] es verdadera en los intervalos [tex]\( (-\infty, -1) \cup (6, \infty) \)[/tex].
### Desigualdad 3: [tex]\( x^2 + 3x + 8 > 0 \)[/tex]
1. Análisis del Discriminante:
El discriminante de [tex]\( x^2 + 3x + 8 \)[/tex] es [tex]\( \Delta = b^2 - 4ac \)[/tex].
[tex]\[ \Delta = 3^2 - 4(1)(8) = 9 - 32 = -23 \][/tex]
Como el discriminante es negativo, la parábola no corta el eje [tex]\( x \)[/tex] y siempre está por encima del eje [tex]\( x \)[/tex]. Por lo tanto, [tex]\( x^2 + 3x + 8 > 0 \)[/tex] para todo [tex]\( x \)[/tex].
### Intervención Final
Para encontrar las soluciones combinadas de todas las desigualdades:
- Intervalos de la desigualdad 1: [tex]\((- \infty, -3)\)[/tex] y [tex]\((1, \infty)\)[/tex]
- Intervalos de la desigualdad 2: [tex]\((- \infty, -1)\)[/tex] y [tex]\((6, \infty)\)[/tex]
- Desigualdad 3: Válida para todo [tex]\( x \)[/tex]
Unificamos los intervalos donde se cumplen todas las desigualdades:
- Los intervalos donde se cumplen las desigualdades son [tex]\((- \infty, -3) \cup (1, \infty) \cup (- \infty, -1) \cup (6, \infty)\)[/tex].
### Resumen de los puntos críticos:
- Los puntos críticos son: [tex]\( -3, -1, 1 \)[/tex] y [tex]\( 6 \)[/tex].
Por lo tanto, los intervalos donde se cumplen las desigualdades son:
[tex]\[ \boxed{(-\infty, -3) \cup (1, \infty) \cup (-\infty, -1) \cup (6, \infty)} \][/tex]
### Desigualdad 1: [tex]\( x^2 + 2x - 3 > 0 \)[/tex]
1. Factorización:
La expresión [tex]\( x^2 + 2x - 3 \)[/tex] se puede factorizar como [tex]\( (x + 3)(x - 1) \)[/tex].
2. Puntos Críticos:
Los puntos críticos ocurren cuando [tex]\( (x + 3) = 0 \)[/tex] o [tex]\( (x - 1) = 0 \)[/tex].
[tex]\[ x = -3 \quad \text{y} \quad x = 1 \][/tex]
3. Análisis de Intervalos:
Estos puntos críticos dividen la recta numérica en los intervalos [tex]\((- \infty, -3)\)[/tex], [tex]\((-3, 1)\)[/tex] y [tex]\((1, \infty)\)[/tex].
4. Signo de los Intervalos:
- Para [tex]\( x \in (- \infty, -3) \)[/tex], considere [tex]\( x = -4 \)[/tex]:
[tex]\[ (-4 + 3)(-4 - 1) = (-1)(-5) = 5 > 0 \][/tex]
- Para [tex]\( x \in (-3, 1) \)[/tex], considere [tex]\( x = 0 \)[/tex]:
[tex]\[ (0 + 3)(0 - 1) = 3(-1) = -3 < 0 \][/tex]
- Para [tex]\( x \in (1, \infty) \)[/tex], considere [tex]\( x = 2 \)[/tex]:
[tex]\[ (2 + 3)(2 - 1) = 5(1) = 5 > 0 \][/tex]
Por lo tanto, la desigualdad [tex]\( x^2 + 2x - 3 > 0 \)[/tex] es verdadera en los intervalos [tex]\( (-\infty, -3) \cup (1, \infty) \)[/tex].
### Desigualdad 2: [tex]\( 3x^2 > 2x^2 + 5x + 6 \)[/tex]
1. Simplificación:
Resolvemos primero la ecuación:
[tex]\[ 3x^2 > 2x^2 + 5x + 6 \][/tex]
[tex]\[ x^2 - 5x - 6 > 0 \][/tex]
2. Factorización:
La expresión [tex]\( x^2 - 5x - 6 \)[/tex] se puede factorizar como [tex]\( (x - 6)(x + 1) \)[/tex].
3. Puntos Críticos:
Los puntos críticos ocurren cuando [tex]\( (x - 6) = 0 \)[/tex] o [tex]\( (x + 1) = 0 \)[/tex].
[tex]\[ x = -1 \quad \text{y} \quad x = 6 \][/tex]
4. Análisis de Intervalos:
Estos puntos críticos dividen la recta numérica en los intervalos [tex]\((- \infty, -1)\)[/tex], [tex]\((-1, 6)\)[/tex] y [tex]\((6, \infty)\)[/tex].
5. Signo de los Intervalos:
- Para [tex]\( x \in (- \infty, -1) \)[/tex], considere [tex]\( x = -2 \)[/tex]:
[tex]\[ (-2 - 6)(-2 + 1) = (-8)(-1) = 8 > 0 \][/tex]
- Para [tex]\( x \in (-1, 6) \)[/tex], considere [tex]\( x = 0 \)[/tex]:
[tex]\[ (0 - 6)(0 + 1) = (-6)(1) = -6 < 0 \][/tex]
- Para [tex]\( x \in (6, \infty) \)[/tex], considere [tex]\( x = 7 \)[/tex]:
[tex]\[ (7 - 6)(7 + 1) = 1(8) = 8 > 0 \][/tex]
Por lo tanto, la desigualdad [tex]\( x^2 - 5x - 6 > 0 \)[/tex] es verdadera en los intervalos [tex]\( (-\infty, -1) \cup (6, \infty) \)[/tex].
### Desigualdad 3: [tex]\( x^2 + 3x + 8 > 0 \)[/tex]
1. Análisis del Discriminante:
El discriminante de [tex]\( x^2 + 3x + 8 \)[/tex] es [tex]\( \Delta = b^2 - 4ac \)[/tex].
[tex]\[ \Delta = 3^2 - 4(1)(8) = 9 - 32 = -23 \][/tex]
Como el discriminante es negativo, la parábola no corta el eje [tex]\( x \)[/tex] y siempre está por encima del eje [tex]\( x \)[/tex]. Por lo tanto, [tex]\( x^2 + 3x + 8 > 0 \)[/tex] para todo [tex]\( x \)[/tex].
### Intervención Final
Para encontrar las soluciones combinadas de todas las desigualdades:
- Intervalos de la desigualdad 1: [tex]\((- \infty, -3)\)[/tex] y [tex]\((1, \infty)\)[/tex]
- Intervalos de la desigualdad 2: [tex]\((- \infty, -1)\)[/tex] y [tex]\((6, \infty)\)[/tex]
- Desigualdad 3: Válida para todo [tex]\( x \)[/tex]
Unificamos los intervalos donde se cumplen todas las desigualdades:
- Los intervalos donde se cumplen las desigualdades son [tex]\((- \infty, -3) \cup (1, \infty) \cup (- \infty, -1) \cup (6, \infty)\)[/tex].
### Resumen de los puntos críticos:
- Los puntos críticos son: [tex]\( -3, -1, 1 \)[/tex] y [tex]\( 6 \)[/tex].
Por lo tanto, los intervalos donde se cumplen las desigualdades son:
[tex]\[ \boxed{(-\infty, -3) \cup (1, \infty) \cup (-\infty, -1) \cup (6, \infty)} \][/tex]
