¡Claro! Vamos a resolver los problemas planteados paso a paso.
### Parte d: Calcula [tex]\( P(0.2 < Z < 0.7) \)[/tex]
Tenemos una variable [tex]\( Z \)[/tex] que sigue una distribución normal estándar [tex]\( N(0, 1) \)[/tex]. Queremos encontrar la probabilidad de que [tex]\( Z \)[/tex] esté entre 0.2 y 0.7.
Para calcular esto, necesitamos evaluar la función de distribución acumulada (CDF) en [tex]\( 0.2 \)[/tex] y [tex]\( 0.7 \)[/tex], y luego encontrar la diferencia entre esos valores.
1. Calculamos [tex]\( P(Z < 0.2) \)[/tex]:
[tex]\[
P(Z < 0.2) = \Phi(0.2) \approx 0.5793
\][/tex]
2. Calculamos [tex]\( P(Z < 0.7) \)[/tex]:
[tex]\[
P(Z < 0.7) = \Phi(0.7) \approx 0.7580
\][/tex]
3. La probabilidad [tex]\( P(0.2 < Z < 0.7) \)[/tex] se obtiene restando las probabilidades acumuladas:
[tex]\[
P(0.2 < Z < 0.7) = P(Z < 0.7) - P(Z < 0.2) = 0.7580 - 0.5793 \approx 0.1788
\][/tex]
Por lo tanto,
[tex]\[
P(0.2 < Z < 0.7) \approx 0.1788
\][/tex]
### Parte 4: Calcula [tex]\( P(X \leq 6) \)[/tex] donde [tex]\( X \sim N(5,3) \)[/tex]
Tenemos una variable [tex]\( X \)[/tex] que sigue una distribución normal con media [tex]\( \mu = 5 \)[/tex] y desviación estándar [tex]\( \sigma = 3 \)[/tex]. Queremos encontrar la probabilidad de que [tex]\( X \)[/tex] sea menor o igual a 6.
Para esto, evaluamos la función de distribución acumulada (CDF) en [tex]\( 6 \)[/tex] teniendo en cuenta la media y la desviación estándar de [tex]\( X \)[/tex].
1. Calculamos [tex]\( P(X \leq 6) \)[/tex]:
[tex]\[
P(X \leq 6) = \Phi\left(\frac{6 - 5}{3}\right) = \Phi\left(\frac{1}{3}\right) \approx 0.6306
\][/tex]
Donde [tex]\( \Phi \)[/tex] es la función de distribución acumulada de la distribución normal estándar.
Por lo tanto,
[tex]\[
P(X \leq 6) \approx 0.6306
\][/tex]
En resumen:
1. La probabilidad [tex]\( P(0.2 < Z < 0.7) \approx 0.1788 \)[/tex].
2. La probabilidad [tex]\( P(X \leq 6) \approx 0.6306 \)[/tex].
