Claro, vamos a abordar cada parte del problema paso a paso.
### Parte a: Calcula la derivada utilizando la regla de los 5 pasos
Para derivar la función [tex]\(f(x) = x^2 - 2\)[/tex] utilizaremos la derivada por definición. Sin embargo, dado que derivar [tex]\(f(x) = x^2 - 2\)[/tex] es bastante sencillo, aplicaremos la regla de potencias y la derivada de una constante.
La función [tex]\(f(x)\)[/tex] se puede descomponer como:
[tex]\[ f(x) = x^2 - 2 \][/tex]
La derivada de [tex]\(f(x)\)[/tex] con respecto a [tex]\(x\)[/tex] es:
Usamos la regla:
[tex]\[ \frac{d}{dx}(x^n) = nx^{n-1} \][/tex]
En este caso, [tex]\(n = 2\)[/tex]:
[tex]\[ \frac{d}{dx}(x^2) = 2x \][/tex]
Además, sabemos que la derivada de una constante es cero:
[tex]\[ \frac{d}{dx}(-2) = 0 \][/tex]
Entonces, la derivada de [tex]\(f(x)\)[/tex] es:
[tex]\[ f'(x) = 2x + 0 = 2x \][/tex]
### Parte b: Halla la ecuación de la recta tangente
Para encontrar la ecuación de la recta tangente en un punto específico, digamos [tex]\(x = 1\)[/tex], necesitamos dos cosas: la pendiente de la tangente en ese punto y el valor de la función en ese punto.
1. Pendiente de la tangente (derivada en [tex]\(x = 1\)[/tex]):
[tex]\[ f'(1) = 2 \cdot 1 = 2 \][/tex]
2. Valor de la función en [tex]\(x = 1\)[/tex]:
[tex]\[ f(1) = 1^2 - 2 = -1 \][/tex]
La ecuación de la recta tangente se puede obtener usando la fórmula de la recta:
[tex]\[ y - y_1 = m(x - x_1) \][/tex]
Donde [tex]\( m \)[/tex] es la pendiente, y [tex]\((x_1, y_1)\)[/tex] es el punto de tangencia.
Para [tex]\( x_1 = 1 \)[/tex] y [tex]\( y_1 = -1 \)[/tex] con una pendiente [tex]\( m = 2 \)[/tex]:
[tex]\[ y - (-1) = 2(x - 1) \][/tex]
[tex]\[ y + 1 = 2x - 2 \][/tex]
[tex]\[ y = 2x - 3 \][/tex]
### Parte c: Representar gráficamente
Para representar gráficamente tanto la función [tex]\(f(x) = x^2 - 2\)[/tex] como la recta tangente [tex]\(y = 2x - 3\)[/tex]:
1. Función [tex]\(f(x) = x^2 - 2\)[/tex]:
- Es una parábola con vértice en [tex]\( (0, -2) \)[/tex] y abre hacia arriba.
2. Recta tangente [tex]\(y = 2x - 3\)[/tex]:
- Es una línea recta que toca la parábola en el punto (1, -1) y tiene una pendiente de 2.
A continuación, se puede hacer un bosquejo cualitativo:
- Dibujamos la parábola [tex]\(f(x) = x^2 - 2\)[/tex], que pasa por el punto (0, -2).
- Trazamos la recta tangente [tex]\(y = 2x - 3\)[/tex], que toca la parábola en el punto (1, -1).
```plaintext
y
^
| ●
| /
| /
| /
| /
-1|---------●--------------> x
| /
| /
| /
| ●
| /
| /
| /
| /
|/
-2|________________________________________________
| | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | |
```
En el gráfico:
- La parábola [tex]\(x^2 - 2\)[/tex] pasa por (0, -2)
- La recta tangente toca la parábola en el punto (1, -1) y tiene pendiente 2.
