Claro, vamos a resolver el problema paso a paso.
### Objetivo:
Encontrar la ecuación de una línea (recta) que pasa por el punto [tex]\((3, 4)\)[/tex] y es paralela a la línea °[tex]\(83x - 2y + 5 = 0\)[/tex].
### Paso 1: Entender la Ecuación dada
La ecuación de la línea dada es
[tex]\(83x - 2y + 5 = 0\)[/tex].
### Paso 2: Identificar la Pendiente
Las líneas paralelas tendrán la misma pendiente. La pendiente ([tex]\(m\)[/tex]) de una línea en la forma general [tex]\(Ax + By + C = 0\)[/tex] es [tex]\(-\frac{A}{B}\)[/tex]. Sin embargo, dado que estamos trabajando con formas generales y las líneas paralelas tienen los mismos coeficientes [tex]\(A\)[/tex] y [tex]\(B\)[/tex], podemos asegurar que:
Para [tex]\(83x - 2y + C = 0\)[/tex], la pendiente es [tex]\(\frac{83}{2}\)[/tex], pero lo más importante es que si una nueva línea es paralela a la original, debe tener los mismos coeficientes [tex]\(83\)[/tex] y [tex]\(-2\)[/tex].
### Paso 3: Ecuación de la Nueva Línea
La nueva línea que es paralela a [tex]\(83x - 2y + 5 = 0\)[/tex] tendrá la forma general:
[tex]\[83x - 2y + C_{\parallel} = 0\][/tex]
### Paso 4: Buscar [tex]\(C_{\parallel}\)[/tex] Usando el Punto Dado
Sabemos que esta línea pasa por el punto [tex]\((3, 4)\)[/tex]. Vamos a sustituir los valores de [tex]\(x = 3\)[/tex] y [tex]\(y = 4\)[/tex] en la ecuación para encontrar [tex]\(C_{\parallel}\)[/tex].
[tex]\[
83(3) - 2(4) + C_{\parallel} = 0 \][/tex]
Calculamos:
[tex]\[
249 - 8 + C_{\parallel} = 0
\][/tex]
Resolviendo para [tex]\(C_{\parallel}\)[/tex]:
[tex]\[
241 + C_{\parallel} = 0
\][/tex]
[tex]\[
C_{\parallel} = -241
\][/tex]
### Paso 5: Substituir el Valor de [tex]\(C_{\parallel}\)[/tex] en la Nueva Ecuación
Ahora que tenemos [tex]\(C_{\parallel} = -241\)[/tex], substituimos en la ecuación para obtener la ecuación final de la línea:
[tex]\[
83x - 2y - 241 = 0
\][/tex]
### Result
La ecuación de la línea que es paralela a [tex]\(83x - 2y + 5 = 0\)[/tex] y pasa por el punto [tex]\((3, 4)\)[/tex] es:
[tex]\[
83x - 2y - 241 = 0
\][/tex]
### Respuesta Final
El valor de [tex]\(C_{\parallel}\)[/tex] es [tex]\(-241\)[/tex]. De este modo, la ecuación de la línea es [tex]\(83x - 2y - 241 = 0\)[/tex].
