Para simplificar la fracción
[tex]\[
\frac{i + 2i^2 + 3i^3 + 4i^4 + 5i^5 + 6i^6 + 7i^8}{8i^9 + 9i^{10} + 10i^{11} + 11i^{12} + 12i^{13}},
\][/tex]
es importante recordar que [tex]\( i \)[/tex] es la unidad imaginaria, y sus potencias siguen un ciclo de longitud 4:
[tex]\[
i^1 = i, \quad i^2 = -1, \quad i^3 = -i, \quad i^4 = 1.
\][/tex]
Debemos primero simplificar tanto el numerador como el denominador, sustituyendo cada potencia de [tex]\( i \)[/tex] por su valor correspondiente en el ciclo.
### Simplificación del Numerador:
[tex]\[
i + 2i^2 + 3i^3 + 4i^4 + 5i^5 + 6i^6 + 7i^8
\][/tex]
Sustituyendo las potencias de [tex]\( i \)[/tex]:
[tex]\[
i + 2(-1) + 3(-i) + 4(1) + 5i + 6(-1) + 7(1)
\][/tex]
Simplificando:
[tex]\[
i - 2 - 3i + 4 + 5i - 6 + 7
\][/tex]
Combinando términos semejantes:
[tex]\[
(i - 3i + 5i) + (-2 + 4 - 6 + 7)
\][/tex]
[tex]\[
(1i - 3i + 5i) + (4 - 2 - 6 + 7)
\][/tex]
[tex]\[
(1 - 3 + 5)i + (4 + 7 - 2 - 6)
\][/tex]
[tex]\[
3i + 3
\][/tex]
El numerador simplificado es:
[tex]\[
3i + 3
\][/tex]
### Simplificación del Denominador:
[tex]\[
8i^9 + 9i^{10} + 10i^{11} + 11i^{12} + 12i^{13}
\][/tex]
Sustituyendo las potencias de [tex]\( i \)[/tex]:
[tex]\[
8i + 9(-1) + 10(-i) + 11(1) + 12i
\][/tex]
Simplificando:
[tex]\[
8i - 9 - 10i + 11 + 12i
\][/tex]
Combinando términos semejantes:
[tex]\[
(8i - 10i + 12i) + (-9 + 11)
\][/tex]
[tex]\[
(8 - 10 + 12)i + (11 - 9)
\][/tex]
[tex]\[
10i + 2
\][/tex]
El denominador simplificado es:
[tex]\[
10i + 2
\][/tex]
### Simplificación de la Fracción:
[tex]\[
\frac{3i + 3}{10i + 2}
\][/tex]
Para simplificar más, podemos separar en términos reales e imaginarios:
Expresemos las partes reales e imaginarias:
[tex]\[
\frac{3i + 3}{10i + 2} = \frac{3(i + 1)}{2(5i + 1)}
\][/tex]
Aunque no se puede simplificar más la fracción de manera algebraica debido a la presencia de términos imaginarios y reales, esto es la forma más simplificada de la fracción dada.
