Para que las fracciones dadas sean equivalentes, necesitamos encontrar el valor de [tex]\( k \)[/tex] en cada caso que haga que las fracciones originales se igualen. Vamos a resolverlo paso a paso para cada relación.
### Relación 1:
Tenemos que hacer que la fracción [tex]\(\frac{-3}{4}\)[/tex] sea igual a [tex]\(\frac{9}{16}\)[/tex] multiplicada por algún valor [tex]\( k \)[/tex].
[tex]\[
\frac{-3}{4} = k \cdot \frac{9}{16}
\][/tex]
Para encontrar el valor de [tex]\( k \)[/tex], debemos despejar [tex]\( k \)[/tex] de la ecuación. Esto se logra dividiendo [tex]\( \frac{-3}{4} \)[/tex] entre [tex]\(\frac{9}{16}\)[/tex]:
[tex]\[
k = \frac{\frac{-3}{4}}{\frac{9}{16}}
\][/tex]
Simplificando esta fracción compuesta a través de la multiplicación cruzada:
[tex]\[
k = \frac{-3}{4} \div \frac{9}{16} = \frac{-3 \times 16}{4 \times 9}
\][/tex]
Resolviendo la operación:
[tex]\[
k = \frac{-48}{36} = -\frac{4}{3} \approx -1.3333333333333333
\][/tex]
### Relación 2:
Ahora, necesitamos hacer que la fracción [tex]\(\frac{2}{9}\)[/tex] sea igual a [tex]\(\frac{8}{36}\)[/tex] multiplicada por algún valor [tex]\( k \)[/tex].
[tex]\[
\frac{2}{9} = k \cdot \frac{8}{36}
\][/tex]
Para encontrar [tex]\( k \)[/tex], necesitamos despejar [tex]\( k \)[/tex] de la ecuación. Nuevamente, esto se hace dividiendo [tex]\(\frac{2}{9}\)[/tex] entre [tex]\(\frac{8}{36}\)[/tex]:
[tex]\[
k = \frac{\frac{2}{9}}{\frac{8}{36}}
\][/tex]
Simplificando esta fracción compuesta a través de la multiplicación cruzada:
[tex]\[
k = \frac{2}{9} \div \frac{8}{36} = \frac{2 \times 36}{9 \times 8}
\][/tex]
Resolviendo la operación:
[tex]\[
k = \frac{72}{72} = 1
\][/tex]
### Resultados:
Por lo tanto, los valores de [tex]\( k \)[/tex] que hacen que las dos relaciones sean equivalentes son:
Para la primera relación:
[tex]\[
k = -\frac{4}{3} \approx -1.3333333333333333
\][/tex]
Para la segunda relación:
[tex]\[
k = 1
\][/tex]
