Claro, vamos a resolver la ecuación paso a paso.
La ecuación es:
[tex]\[ 55x = 1.6 \left(x^2 + 6x + 9\right)^2 + 75 \][/tex]
Paso 1: Simplificamos la ecuación haciendo que todos los términos estén del mismo lado:
[tex]\[ 55x - 1.6 \left(x^2 + 6x + 9\right)^2 - 75 = 0 \][/tex]
Paso 2: Observamos que [tex]\( \left(x^2 + 6x + 9\right) \)[/tex] es un trinomio cuadrado perfecto, conocido como [tex]\( (x+3)^2 \)[/tex]. Entonces la ecuación se convierte en:
[tex]\[ 55x - 1.6 \left((x + 3)^2\right)^2 - 75 = 0 \][/tex]
Paso 3: Substituimos [tex]\( (x+3)^2 \)[/tex] por [tex]\( y \)[/tex]:
[tex]\[ 55x - 1.6y^2 - 75 = 0 \][/tex]
[tex]\[ y = (x + 3)^2 \][/tex]
[tex]\[ 55x - 1.6((x + 3)^2)^2 - 75 = 0 \][/tex]
Paso 4: Simplificamos para obtener y resolver [tex]\( y \)[/tex]:
Tenemos las ecuaciones:
[tex]\[ y = (x + 3)^2 \][/tex]
[tex]\[ 55x - 1.6 y^2 - 75 = 0 \][/tex]
Paso 5: Resolviendo la equación para [tex]\( x \)[/tex] nos da los resultados:
[tex]\[ x = \{-5.52120272074364 - 3.12490873373197i, -5.52120272074364 + 3.12490873373197i, -0.478797279256356 - 1.71693672685278i, -0.478797279256356 + 1.71693672685278i\} \][/tex]
Por lo tanto, las soluciones complejas para la ecuación dada son:
[tex]\[
x = -5.52120272074364 - 3.12490873373197i
\][/tex]
[tex]\[
x = -5.52120272074364 + 3.12490873373197i
\][/tex]
[tex]\[
x = -0.478797279256356 - 1.71693672685278i
\][/tex]
[tex]\[
x = -0.478797279256356 + 1.71693672685278i
\][/tex]
Estos son los valores que satisfacen la ecuación.
