Claro, vamos a resolver la expresión paso a paso.
Dada la expresión para [tex]\( M \)[/tex]:
[tex]\[ M = \frac{2^{n+6} - 8 \cdot 2^{n+1}}{10 \cdot 2^{n-1} + 3 \cdot 2^{n+1}} \][/tex]
Primero, analicemos el numerador y el denominador por separado.
### Paso 1: Simplificación del Numerador
El numerador es:
[tex]\[ 2^{n+6} - 8 \cdot 2^{n+1} \][/tex]
Podemos reescribir [tex]\( 8 \cdot 2^{n+1} \)[/tex] como [tex]\( 2^3 \cdot 2^{n+1} \)[/tex], es decir, [tex]\( 2^{n+4} \)[/tex]:
[tex]\[ 8 \cdot 2^{n+1} = 2^3 \cdot 2^{n+1} = 2^{n+4} \][/tex]
Por lo tanto, el numerador se convierte en:
[tex]\[ 2^{n+6} - 2^{n+4} \][/tex]
### Paso 2: Simplificación del Denominador
El denominador es:
[tex]\[ 10 \cdot 2^{n-1} + 3 \cdot 2^{n+1} \][/tex]
Podemos reescribir [tex]\( 3 \cdot 2^{n+1} \)[/tex] como [tex]\( 3 \cdot 2^{n+1} = 3 \cdot 2^n \cdot 2 = 3 \cdot 2^{n+1} \)[/tex].
Por lo tanto, el denominador se convierte en:
[tex]\[ 10 \cdot 2^{n-1} + 3 \cdot 2^{n+1} \][/tex]
### Paso 3: Expresión General
Ahora, volviendo al numerador simplificado y al denominador, tenemos:
[tex]\[ M = \frac{2^{n+6} - 2^{n+4}}{10 \cdot 2^{n-1} + 3 \cdot 2^{n+1}} \][/tex]
Esto se puede reescribir como:
[tex]\[ M = \frac{-8 \cdot 2^{n+1} + 2^{n+6}}{10 \cdot 2^{n-1} + 3 \cdot 2^{n+1}} \][/tex]
Por lo tanto, la expresión final para [tex]\( M \)[/tex] es:
[tex]\[ M = \frac{-8 \cdot 2^{n+1} + 2^{n+6}}{10 \cdot 2^{n-1} + 3 \cdot 2^{n+1}} \][/tex]
Esto concluye el proceso de simplificación y cálculo para la expresión dada.
