Claro, vamos analizar la función [tex]\( F(x) = 3x^2 + 2x - 5 \)[/tex] paso a paso.
### Paso 1: Identificación de la función
La función dada es una función cuadrática de la forma:
[tex]\[ F(x) = ax^2 + bx + c \][/tex]
donde:
[tex]\[ a = 3 \][/tex]
[tex]\[ b = 2 \][/tex]
[tex]\[ c = -5 \][/tex]
### Paso 2: Forma de la función
Una función cuadrática tiene una forma de parábola. En este caso, el coeficiente [tex]\( a \)[/tex] es positivo ([tex]\( a = 3 \)[/tex]), lo que significa que la parábola se abre hacia arriba.
### Paso 3: Determinación del vértice
El vértice de una parábola cuadrática dada por [tex]\( ax^2 + bx + c \)[/tex] tiene las coordenadas:
[tex]\[ x_v = -\frac{b}{2a} \][/tex]
[tex]\[ y_v = F(x_v) \][/tex]
Calculando [tex]\( x_v \)[/tex]:
[tex]\[ x_v = -\frac{2}{2 \cdot 3} = -\frac{2}{6} = -\frac{1}{3} \][/tex]
Ahora calculamos [tex]\( y_v \)[/tex] evaluando [tex]\( F(x_v) \)[/tex]:
[tex]\[ y_v = F\left(-\frac{1}{3}\right) = 3 \left(-\frac{1}{3}\right)^2 + 2 \left(-\frac{1}{3}\right) - 5 \][/tex]
### Paso 4: Eje de simetría y Cámara
El eje de simetría de la parábola es la línea vertical que pasa por el vértice [tex]\( x_v \)[/tex]:
[tex]\[ x = -\frac{1}{3} \][/tex]
### Paso 5: Intersecciones con los ejes
Para encontrar las intersecciones con el eje [tex]\( y \)[/tex], evaluamos [tex]\( F(0) \)[/tex]:
[tex]\[ F(0) = 3(0)^2 + 2(0) - 5 = -5 \][/tex]
Por lo tanto, la intersección con el eje [tex]\( y \)[/tex] es en el punto [tex]\( (0, -5) \)[/tex].
Para encontrar las intersecciones con el eje [tex]\( x \)[/tex], resolvemos la ecuación [tex]\( F(x) = 0 \)[/tex]:
[tex]\[ 3x^2 + 2x - 5 = 0 \][/tex]
Resolvemos esta ecuación cuadrática usando la fórmula cuadrática:
[tex]\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \][/tex]
[tex]\[ x = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4(3)(-5)}}{2(3)} \][/tex]
[tex]\[ x = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 60}}{6} \][/tex]
[tex]\[ x = \frac{-2 \pm \sqrt{64}}{6} \][/tex]
[tex]\[ x = \frac{-2 \pm 8}{6} \][/tex]
Soluciones:
[tex]\[ x_1 = \frac{-2 + 8}{6} = 1 \][/tex]
[tex]\[ x_2 = \frac{-2 - 8}{6} = -\frac{5}{3} \][/tex]
Así que las intersecciones con el eje [tex]\( x \)[/tex] son en los puntos [tex]\( (1, 0) \)[/tex] y [tex]\( \left(-\frac{5}{3}, 0\right) \)[/tex].
### Resumen de características
- La función es una parábola que abre hacia arriba.
- El vértice está en [tex]\( \left( -\frac{1}{3}, F\left(-\frac{1}{3}\right)\right) \)[/tex].
- El eje de simetría es la línea vertical [tex]\( x = -\frac{1}{3} \)[/tex].
- La intersección con el eje [tex]\( y \)[/tex] está en [tex]\( (0, -5) \)[/tex].
- Las intersecciones con el eje [tex]\( x \)[/tex] están en [tex]\( (1, 0) \)[/tex] y [tex]\( \left(-\frac{5}{3}, 0\right) \)[/tex].
¡Espero que esta explicación detallada te haya sido útil para entender cómo analizar y representar la función cuadrática [tex]\( F(x) = 3x^2 + 2x - 5 \)[/tex]!
