Claro, vamos a resolver este problema paso a paso.
### Paso 1: Formulación de las ecuaciones
Dado:
- Perímetro total del marco: 160 cm
- Suma del largo del marco con el triple del ancho: 120 cm
Representemos:
- Largo del marco con [tex]\( x \)[/tex]
- Ancho del marco con [tex]\( y \)[/tex]
### Paso 2: Escribir las ecuaciones dadas
1. Ecuación del perímetro: El perímetro de un rectángulo se calcula con la fórmula:
[tex]\[ 2x + 2y = 160 \][/tex]
2. Ecuación de la suma del largo con el triple del ancho:
[tex]\[ x + 3y = 120 \][/tex]
### Paso 3: Simplificar y resolver el sistema de ecuaciones
Ahora tenemos el siguiente sistema de ecuaciones:
1. [tex]\( 2x + 2y = 160 \)[/tex]
2. [tex]\( x + 3y = 120 \)[/tex]
Dividimos la primera ecuación por 2 para simplificar:
[tex]\[ x + y = 80 \][/tex]
Ahora tenemos:
1. [tex]\( x + y = 80 \)[/tex]
2. [tex]\( x + 3y = 120 \)[/tex]
### Paso 4: Restar la primera ecuación de la segunda
Restamos la ecuación 1 de la ecuación 2 para eliminar [tex]\( x \)[/tex]:
[tex]\[ (x + 3y) - (x + y) = 120 - 80 \][/tex]
[tex]\[ x + 3y - x - y = 40 \][/tex]
[tex]\[ 2y = 40 \][/tex]
[tex]\[ y = 20 \][/tex]
### Paso 5: Sustituir el valor de [tex]\( y \)[/tex] en una de las ecuaciones originales
Sustituimos [tex]\( y = 20 \)[/tex] en la primera ecuación [tex]\( x + y = 80 \)[/tex]:
[tex]\[ x + 20 = 80 \][/tex]
[tex]\[ x = 60 \][/tex]
### Resultado Final
Por lo tanto, el largo del marco es [tex]\( x = 60 \)[/tex] cm y el ancho del marco es [tex]\( y = 20 \)[/tex] cm.
Conclusión:
- Largo del marco: 60 cm
- Ancho del marco: 20 cm
