Claro, vamos a resolver este problema paso a paso.
### Datos iniciales:
- Ángulo de lanzamiento, [tex]\( \theta = 35^\circ \)[/tex]
- Velocidad inicial, [tex]\( V_0 = 18 \, \text{m/s} \)[/tex]
- Aceleración debido a la gravedad, [tex]\( g = 9.81 \, \text{m/s}^2 \)[/tex]
### Paso 1: Convertir el ángulo de grados a radianes
Sabemos que [tex]\( 1 \text{rad} = \frac{180^\circ}{\pi} \)[/tex]. Entonces:
[tex]\[
\theta_{\text{rad}} = \theta \times \frac{\pi}{180^\circ} = 35^\circ \times \frac{\pi}{180^\circ} \approx 0.6109 \,\text{rad}
\][/tex]
### Paso 2: Descomponer la velocidad inicial en sus componentes horizontal y vertical
La velocidad inicial tiene dos componentes: horizontal [tex]\( V_{0x} \)[/tex] y vertical [tex]\( V_{0y} \)[/tex]. Las fórmulas para estas componentes son:
- [tex]\( V_{0x} = V_0 \cdot \cos(\theta_{\text{rad}}) \)[/tex]
- [tex]\( V_{0y} = V_0 \cdot \sin(\theta_{\text{rad}}) \)[/tex]
Calculamos estos valores:
[tex]\[
V_{0x} = 18 \, \text{m/s} \cdot \cos(0.6109) \approx 14.7447 \, \text{m/s}
\][/tex]
[tex]\[
V_{0y} = 18 \, \text{m/s} \cdot \sin(0.6109) \approx 10.3244 \, \text{m/s}
\][/tex]
### Paso 3: Calcular el tiempo para alcanzar la altura máxima (tiempo de subida)
El tiempo para alcanzar la altura máxima se calcula usando la fórmula:
[tex]\[
t_{\text{subida}} = \frac{V_{0y}}{g} = \frac{10.3244 \, \text{m/s}}{9.81 \, \text{m/s}^2} \approx 1.0524 \, \text{s}
\][/tex]
### Paso 4: Calcular el tiempo total en el aire
El tiempo total que la pelota está en el aire es el doble del tiempo de subida, porque el tiempo de descenso es igual al tiempo de subida (bajo condiciones ideales de un lanzamiento parabólico):
[tex]\[
t_{\text{total}} = 2 \cdot t_{\text{subida}} \approx 2 \cdot 1.0524 \, \text{s} \approx 2.1049 \, \text{s}
\][/tex]
### Paso 5: Calcular la distancia horizontal recorrida
Finalmente, la distancia horizontal recorrida, también conocida como alcance, es el producto de la componente horizontal de la velocidad inicial y el tiempo total en el aire:
[tex]\[
d = V_{0x} \cdot t_{\text{total}} \approx 14.7447 \, \text{m/s} \cdot 2.1049 \, \text{s} \approx 31.0357 \, \text{m}
\][/tex]
### Resumen:
- El tiempo total que la pelota tarda en llegar al suelo es aproximadamente [tex]\(2.1049 \, \text{s}\)[/tex].
- La distancia desde el bateador donde cae la pelota es aproximadamente [tex]\(31.0357 \, \text{m}\)[/tex].
