Para resolver esta pregunta, vamos a seguir una serie de pasos detallados para determinar el tamaño de la muestra necesaria para una encuesta sobre una marca "X" dirigida a hombres y mujeres de nivel socioeconómico medio, entre las edades de 20 y 45 años, en una ciudad europea. La encuesta tiene un nivel de confianza del 87%, con una probabilidad del 75% de que las personas consuman el producto, y un margen de error del ±6%.
### Paso 1: Calcular la Población de Hombres y Mujeres
Primero, segmentamos la población total para determinar cuántos hombres y mujeres hay en la población total.
- Población Total: 425,000 habitantes
- Porcentaje de Hombres: 42%
- Porcentaje de Mujeres: 58%
La población de hombres y mujeres se calcula de la siguiente manera:
[tex]\[ \text{Población de Hombres} = 425,000 \times 0.42 = 178,500 \][/tex]
[tex]\[ \text{Población de Mujeres} = 425,000 \times 0.58 = 246,500 \][/tex]
### Paso 2: Determinar los Parámetros de la Encuesta
- Nivel de Confianza (87%): Esto corresponde a un valor [tex]\( Z \)[/tex] de aproximadamente 1.51 (obtenido de tablas de distribución normal estándar).
- Proporción de Éxito (P): 75% o 0.75
- Proporción de Fracaso (Q): 1 - P = 1 - 0.75 = 0.25
- Margen de Error (e): 6% o 0.06
### Paso 3: Calcular el Tamaño de la Muestra
Utilizaremos la fórmula para el cálculo del tamaño de la muestra cuando trabajamos con una población finita:
[tex]\[ n = \frac{Z^2 \times N \times P \times Q}{e^2 \times (N - 1) + Z^2 \times P \times Q} \][/tex]
#### Para Hombres:
[tex]\[ N = 178,500 \][/tex]
[tex]\[ n = \frac{(1.51)^2 \times 178,500 \times 0.75 \times 0.25}{(0.06)^2 \times (178,500 - 1) + (1.51)^2 \times 0.75 \times 0.25} \][/tex]
[tex]\[ n \approx 119.32 \][/tex]
#### Para Mujeres:
[tex]\[ N = 246,500 \][/tex]
[tex]\[ n = \frac{(1.51)^2 \times 246,500 \times 0.75 \times 0.25}{(0.06)^2 \times (246,500 - 1) + (1.51)^2 \times 0.75 \times 0.25} \][/tex]
[tex]\[ n \approx 119.34 \][/tex]
### Resumen
De acuerdo con los cálculos, la población total de hombres es 178,500 y de mujeres es 246,500. Los tamaños de muestra necesarios para alcanzar el nivel de confianza y margen de error especificados son aproximadamente 119.32 para hombres y 119.34 para mujeres. En términos prácticos, es razonable redondear estos valores a 120 para simplificar la administración de la encuesta. Esto significa que necesitaríamos encuestar alrededor de 120 hombres y 120 mujeres para obtener resultados que sean representativos del nivel de confianza del 87% y con un margen de error del ±6%.
