Para simplificar la fracción dada [tex]\(\frac{ik^2(x^2 - y^2)}{a(x+y)}\)[/tex], sigamos los siguientes pasos:
1. Expande el numerador [tex]\(ik^2(x^2 - y^2)\)[/tex]:
Observe que [tex]\(x^2 - y^2\)[/tex] es una diferencia de cuadrados, la cual se puede factorizar como [tex]\((x+y)(x-y)\)[/tex].
Entonces, [tex]\(ik^2(x^2 - y^2) = ik^2(x+y)(x-y)\)[/tex].
2. Plantea la fracción completa:
[tex]\[
\frac{ik^2(x^2 - y^2)}{a(x+y)} = \frac{ik^2 (x+y)(x-y)}{a(x + y)}
\][/tex]
3. Simplifica la fracción:
Como el factor [tex]\((x+y)\)[/tex] aparece en el numerador y en el denominador, podemos cancelarlos, ya que [tex]\(x + y \neq 0\)[/tex]:
[tex]\[
\frac{ik^2 (x+y)(x-y)}{a(x+y)} = \frac{ik^2(x-y)}{a}
\][/tex]
Hemos simplificado la fracción a [tex]\(\frac{ik^2(x-y)}{a}\)[/tex].
Ahora, vamos a verificar que las fracciones dadas sean equivalentes a la fracción simplificada. Procedamos con las siguientes fracciones:
1. Primera fracción: [tex]\(\frac{k(x - 2y)}{2y - x}\)[/tex]:
Observaremos la fracción:
[tex]\[
\frac{k(x - 2y)}{2y - x}
\][/tex]
Se nota que si multiplicamos el denominador por [tex]\(-1\)[/tex]:
[tex]\[
2y - x = - (x - 2y)
\][/tex]
Podemos entonces reescribir la fracción como:
[tex]\[
\frac{k(x - 2y)}{2y - x} = \frac{k(x - 2y)}{- (x - 2y)} = - k
\][/tex]
La fracción [tex]\(\frac{k(x - 2y)}{2y - x}\)[/tex] no es equivalente a nuestra fracción simplificada, pues es simplemente [tex]\(-k\)[/tex], una constante.
2. Segunda fracción: [tex]\(\frac{(1-a)^3}{a-1}\)[/tex]:
Sabemos que [tex]\(a - 1 = -(1 - a)\)[/tex], entonces:
[tex]\[
\frac{(1-a)^3}{a-1} = \frac{(1-a)^3}{-(1-a)} = -(1-a)^2 = -(1 - a)^2
\][/tex]
que nuevamente, no es equivalente a nuestra fracción simplificada y forma una constante cuadrada.
Por lo tanto, la fracción [tex]\(\frac{ik^2(x-y)}{a}\)[/tex] ya está simplificada y no se puede reducir más ni es igual a las fracciones dadas.
Ninguna de las fracciones adicionales proporcionadas, [tex]\(\frac{k(x - 2y)}{2y - x}\)[/tex] o [tex]\(\frac{(1-a)^3}{a-1}\)[/tex], se simplifica a nuestra fracción dada [tex]\(\frac{ik^2(x-y)}{a}\)[/tex].
La respuesta simplificada para la fracción original [tex]\(\frac{ik^2(x^2 - y^2)}{a(x + y)}\)[/tex] es:
[tex]\[
\boxed{\frac{ik^2(x-y)}{a}}
\][/tex]
