Claro, vamos a resolver el sistema de ecuaciones lineales paso a paso usando el método de sustitución.
Dado el sistema de ecuaciones:
[tex]\[
\begin{cases}
x - y + z = \frac{11}{5} \quad \text{(1)} \\
2y + z = \frac{1}{5} \quad \text{(2)} \\
10z = 2 \quad \text{(3)}
\end{cases}
\][/tex]
Paso 1: Resolver la ecuación (3) para [tex]\( z \)[/tex]
La tercera ecuación es:
[tex]\[
10z = 2
\][/tex]
Dividimos ambos lados entre 10:
[tex]\[
z = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}
\][/tex]
Paso 2: Sustituir [tex]\( z = \frac{1}{5} \)[/tex] en la ecuación (2) para encontrar [tex]\( y \)[/tex]
La segunda ecuación es:
[tex]\[
2y + z = \frac{1}{5}
\][/tex]
Sustituimos [tex]\( z = \frac{1}{5} \)[/tex]:
[tex]\[
2y + \frac{1}{5} = \frac{1}{5}
\][/tex]
Restamos [tex]\(\frac{1}{5}\)[/tex] de ambos lados:
[tex]\[
2y = \frac{1}{5} - \frac{1}{5} = 0
\][/tex]
Dividimos ambos lados entre 2:
[tex]\[
y = 0
\][/tex]
Paso 3: Sustituir [tex]\( y = 0 \)[/tex] y [tex]\( z = \frac{1}{5} \)[/tex] en la ecuación (1) para encontrar [tex]\( x \)[/tex]
La primera ecuación es:
[tex]\[
x - y + z = \frac{11}{5}
\][/tex]
Sustituimos [tex]\( y = 0 \)[/tex] y [tex]\( z = \frac{1}{5} \)[/tex]:
[tex]\[
x - 0 + \frac{1}{5} = \frac{11}{5}
\][/tex]
Simplificamos:
[tex]\[
x + \frac{1}{5} = \frac{11}{5}
\][/tex]
Restamos [tex]\(\frac{1}{5}\)[/tex] de ambos lados:
[tex]\[
x = \frac{11}{5} - \frac{1}{5} = \frac{10}{5} = 2
\][/tex]
Solución:
Entonces, la solución del sistema de ecuaciones es:
[tex]\[
(x, y, z) = \left(2, 0, \frac{1}{5}\right)
\][/tex]
Verificación:
Verificamos la solución en las tres ecuaciones originales:
1. Primera ecuación:
[tex]\[
x - y + z = 2 - 0 + \frac{1}{5} = 2 + \frac{1}{5} = \frac{10}{5} + \frac{1}{5} = \frac{11}{5}
\][/tex]
2. Segunda ecuación:
[tex]\[
2y + z = 2 \cdot 0 + \frac{1}{5} = 0 + \frac{1}{5} = \frac{1}{5}
\][/tex]
3. Tercera ecuación:
[tex]\[
10z = 10 \cdot \frac{1}{5} = 2
\][/tex]
Dado que la solución verifica todas las ecuaciones, hemos confirmado que la solución del sistema es:
[tex]\[
\left(2, 0, \frac{1}{5}\right)
\][/tex]
