Para calcular la derivada de la función [tex]\( f(x) = \frac{1}{100} x^{100} + x \ln(x) \)[/tex] con respecto a [tex]\( x \)[/tex], se deben aplicar las reglas de derivación a cada uno de los términos por separado.
Empecemos con el primer término de la función:
[tex]\[ f_1(x) = \frac{1}{100} x^{100} \][/tex]
Aplicando la regla de la potencia, que dice que la derivada de [tex]\( x^n \)[/tex] es [tex]\( n x^{n-1} \)[/tex], obtenemos:
[tex]\[ \frac{d}{dx} \left( \frac{1}{100} x^{100} \right) = \frac{1}{100} \cdot 100 x^{100-1} = x^{99} \][/tex]
Ahora consideremos el segundo término de la función:
[tex]\[ f_2(x) = x \ln(x) \][/tex]
Para derivar este término, aplicamos la regla del producto, que establece que la derivada de [tex]\( u(x) v(x) \)[/tex] es [tex]\( u'(x) v(x) + u(x) v'(x) \)[/tex]. Identificamos [tex]\( u(x) = x \)[/tex] y [tex]\( v(x) = \ln(x) \)[/tex].
Primero, derivamos [tex]\( u(x) \)[/tex]:
[tex]\[ u'(x) = \frac{d}{dx} x = 1 \][/tex]
Luego, derivamos [tex]\( v(x) \)[/tex]:
[tex]\[ v'(x) = \frac{d}{dx} \ln(x) = \frac{1}{x} \][/tex]
Ahora aplicamos la regla del producto:
[tex]\[ \frac{d}{dx} \left( x \ln(x) \right) = u'(x) v(x) + u(x) v'(x) = 1 \cdot \ln(x) + x \cdot \frac{1}{x} = \ln(x) + 1 \][/tex]
Finalmente, sumamos las derivadas de los dos términos:
[tex]\[ \frac{d}{dx} f(x) = \frac{d}{dx} \left( \frac{1}{100} x^{100} + x \ln(x) \right) = x^{99} + \ln(x) + 1 \][/tex]
Por lo tanto, la derivada de la función [tex]\( f(x) \)[/tex] es:
[tex]\[ f'(x) = x^{99} + \ln(x) + 1 \][/tex]
